جامعة باجي مختار عنابة

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1 6Bوزارة التعليم العالي والبحث العلمي Université Badji Mokhtar Annaba Badji Mokhtar University - Annaba 4BFaculté des Sciences 0BDépartement de Mathématiques جامعة باجي مختار عنابة 5BAnnée : 2012/2013 1BTHÈSE Présentée en vue de l obtention du diplôme de DOCTORAT EN MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES ÉTUDE D UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE STOCHASTIQUE Á VOLATILITÉ STOCHATIQUE ET SIMULATIONS NUMÉRIQUES Option 3BPROBABILITE-STATISTIQUE 2BPrésentée par HADJI MOHAMMED LAKHDAR DIRECTEUR DE THÈSE : M. R. REMITA MCA U.B.M. ANNABA CO-DIRECTEUR DE THÈSE : M. Z. AISSAOUI MCA U. 8 Mai 45 GUELMA Devant le jury PRESIDENT : 7BMr. Brahim Khodja Prof. U.B.M. ANNABA EXAMINATEUR : EXAMINATEUR : EXAMINATEUR : Mme. Natalia Djellab Mr. Nassereddine Kachkar Mr. Abderrahmane Yousfat Prof. U.B.M. ANNABA Prof. U.L.B.4T Oum El Bouaghi4T 8BProf. U.D.L. Sidi Bel-Abbès

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3 A mes parents, Mehania et Hocine A Zohra A Aymen, Ibtissem et Marwa A mes frères et soeurs A Hizia et tous ceux qui me sont trés chers 1

4 Table des matières Introduction 1 1 Rappel Notions fondamentales sur le langage nancier Action Obligation indice boursier Taux de change Flux nancier Marché nancier Actif nancier Produit dérivé Forward Contrat à terme Swap Option Warrant Actif sous-jacent Volatilié Trader Stratégie et marché Notions fondamentales sur les probabilités Variable aléatoire Densité de probabilité Espérance mathématique Variance Covariance Loi normalle gaussienne Loi Log-normale Notions fondamentales sur le calcul stochastique Processus aléatoire Filtration Mouvement brownien Notion de processus stochastique Dé nition mathématique du mouvement brownien

5 TABLE DES MATIÈRES Martingale Martingale dans N Exemple de martingale à temps continu Processus adapté Intégrale d Itô Processus d Itô Intégrale de Wiener et intégrale stochastique Lemme d Itô Processus d Ornstein-Uhlenbeck Equation di érentielle stochastique (EDS) Volatilité stochastique Matrice stochastique Méthode Monté-Carlo Etude du modèle Black & Scholes Volatilité Volatilité implicite "Smile" de la volatilité Exemple Conclusion Etude de quelques modèles Financiers à volatilité stochastique Modèle de Hull et White Déscription du modèle Conclusion Modèle de Elias M. Stein & Jeremy C.Stein Introduction Intégration des équations du modèle Prix d un call européen par la formule fermée Modèle Jean-Pierre Fouque, George Papanicolaou et K. Ronnie Sircar Décription du modèle Prix d une option europenne EDP modélisant le prix d un call à volatilité stochastique -Modèle Heston Modélisation d une option à volatilité stochastique Conditions aux limites Nouvelle Equation Di érentielle Nouvelles conditions aux limites et nouveau domaine Résolution de L EDP par la méthode des di érences nies Schéma numérique Conditions aux limites du schéma numérique Résultats numériques et commentaires

6 TABLE DES MATIÈRES Conclusion Conclusion générale 66 Conclusion et perspectives 66 Bibliographie 67

7 Résumé Le travail de cette thèse est consacré principalement à la modélisation d une option européenne. La particularité de ces modèles réside dans la non observabilité de la volatilité. On commence par un historique sur quelques modèles qui ont été déja élaborés par plusieurs auteurs, en occurence le modèle de référènce de Black & Scholes qui a considéré la volatilité constante. Malheusement cette assertion ne re éte pas la realité, vu que la volatilité dépend du temps et du hazard. A n de mieux représenter la realité dans le domaine de la nance, on propose un modèle écrit sous la forme d un système d équations di érentielles stochastiques, dont une des équations modélise le cours du sous-jacent et l autre prend en compte la volatilité. Ceci est fait en considérant un coe cient de corrélation entre les deux mouvements browniens qui n est pas neccessairement nul. L approche utilisée pour évaluer l option est la résolution de l equation aux dérivées partielles de Garman (EDPG)[12]dans le cas où la racine carré de la volatilité suit le processus d Ornstein-Uhlenbeck arithmétique[22]. On procède, à la fois à une étude analytique où l existence et l unicité de la solution de l EDPG est détaillée ; ainsi qu à l approximation numérique de la solution par le biais de la méthode des di érences nies.

8 Abstract The work of this thesis is mainly devoted to the modeling of a european option. The particularity of these models is the fact of the non observability of the volatility. First, we start by setting a history of some models whitch have been elaborated by many authors ; namely the refernce model due to Black & Scholes who considered the volatility to be constant. Unfortunetly, this asymption does not re ect the reality, because the volatility depends on time and the hazard. To better represent the reality in nance s domain, we propose a model written in the form of a system of two stochastic di erencial equations, where one of the two equations modelises the underliyng asset and the other one takes in accont the volatility. This is done by considering a correlation coe cient between the two brownian motions, that is not necessaly equal to zero. The approach used to evaluate the option is the resolution of Garman s partial di erential equation (GPDE)[12], in the case where the squarre root of the volatility follows the aritmetic Ornstein-Uhlenbeck s process [22]. We procceed both by an analytical study, where the existence and the uniqueness of the solution of GPDE is detailed ; and also a numerical approximation by the use of the nite di erence method..

9 Remerciements Mes sincères remerciements à mes deux directeurs de thèse M. R. Remita Maître de conférence á l université Badji Mokhtar-Annaba et M. Z. Aissaoui, Maître de Conférence à l université du 08 Mai 1945-Guelma, pour le sujet très intéressant qu ils m ont proposé qui m a ouvert sur un nouvel horizon de la recherche. Sans leurs conseils, encouragements et leurs suivi continu je ne serais jamais arrivé à ce fruit. Je remercie également tous les membres de jury pour le temps consacré pour examiner et évaluer ce travail. Je remercie toutes les personnes qui m ont aidé de près ou de loin à toute réalisation. En n, j exprime ma gratitude et ma reconnaissance à ma Femme qui grâce à son esprit très scienti que, sa patience, support moral et encouragement continu j ai pu surmonter toutes les épreuves ; sans oublier mes chers Enfants Aymen, Ibtissem et Marwa.

10 Introduction L être humain a connu, la notion d une option, depuis qu il a commencé à pratiquer des échanges commerciaux c est à dire à tronquer sa marchandise, les gens s échangeaient des contrats de produits dérivés, achat et vente d un actif à un prix d exercice donné et une date future, en payant au vendeur du contrat une somme qui n est autre que la prime négociée par les deux parties. La grande -Bretagne et les états-unis d Amérique ont vu l apparition des contrats négociés dés le 18 eme siécle, mais le cadre standardisé n était pas réglementé. On a attendu l année 1973, pour que des nanciers de "Chicago Board Options exchange" (CBOE) donnent le certi cat de naissance à un type d option et permettre la négociation de contrats, entièrement standardisés. Le succés de cette initiative a donné naissance et prolifèration de marché de même type sur toutes les places bourcières, un produit dérivé ou contingent dé nit comme un actif nancier négocié sur un marché dont le prix dépend de la valeur d un autre actif appelé sous-jacent. Ce grand et dynamique essor des produits dérivés a expliqué l accroissement de la volatilité, les taux d intérêt et les risques nanciers. Un marché est dit complet quand il permet à un opérateur d atteindre l objectif de rentabilité et de risque souhaité. l option a permis aux entreprises de diversi er les pro ls de risque et choisir le cours ou le taux d intérêt avec lesquels, on peut ceder le risque à la banque. La modélisation de l évaluation des options est devenue un domaine d une importance cruciale et complexe ce qui a ouvert la porte à la recherche pour beaucoup d économistes et de mathématiciens. Louis Jean-Baptiste Alphonse Bachelier[1] est considéré comme l un des précurseur de la théorie moderne des probabilités et comme le fondateur des mathématiques nancières. Dans sa thèse intitulée Théorie de la spéculation, soutenue le 29 mars 1900, il a introduit l utilisation en nance du mouvement brownien (découvert par le biologiste Browien), qui est à la base de

11 Introduction 2 la plupart des modèles de prix en nance, notamment la formule de Black-Scholes (1973)[3][4]. Ses travaux ont été trés commentés de son vivant et notamment cités par Kolmogorov dés les années trente. Benoit Mandelbrot, mathématicien, a été l un des premiers aprés la seconde guerre mondiale à rappeller le role de pionnier de Bachelier dans les probabilités et les mathématiques nancières. Il a supposé que le prix de l actif sous-jacent suit un mouvement Brownien avec un drift nul, avec une probabilité égale à 1, le modèle a engendré des prix de sous-jacents négatifs et le prix de l option peut être supérieur au prix du sous-jacent, ces deux éléments ont rendu son modèle dé cient et en contradiction avec la réalité du marché nancier. Kiyoshi Itô a étudié les mathématiques à l université Impériale de Tokyo. Il y fut attiré par le calcul des probabilités. Il s intéressa aux travaux d Andrei Kolmogorov et de Paul Lévy puis plus tard au concept de régularisation étudié par Doob[7]. En 1940, il publia "On the probability distribution on a compact group", un ouvrage important dans l évolution dans ce domaine. Puis il s intéressa aux processus stochastiques et au mouvement brownien essentiellement aprés Ses travaux ont été utilisés par Black-scholes (1973) pour la résolution d évaluation de l option d achat d un actif nancier qui a aboutit à leur célébre formule. Le modèle de Black-Scholes (du nom de Fischer Black et Myron Scholes) d évaluation d option est un modèle utilisé en mathématiques nancières a n d estimer en théorie la valeur d une option nancière, du type option européenne. Il fut publié en 1973, et constituait le prolongement de travaux réalisés par Paul Samuelson et Robert Merton. L intuition fondamentale de Black et Scholes fut de mettre en rapport le prix implicite de l option et les variations de prix de l actif sous-jacent. Leur découverte eut trés rapidement une in uence considérable, et des déclinaisons de leur modèle sont utilisées dans tous les compartiments des marchés nanciers. Dés 1977, Oldrich Vasicek[26] s en inspirait pour fonder la théorie moderne des taux d intérêt. Merton et Scholes recoivent en 1997 le prix Nobel d économie pour leurs travaux (Fisher Black était, lui, malheureusement mort en 1995). Le modèle de Black & Scholes est devenu populaire grâce à sa formule de valorisation des options européennes, qui a donné le début de l ère de la modélisation stochastique de la nance, toute fois, il reste tributaire de quelques hypothèses qui ne sont pas en accord avec la

12 Introduction 3 réalité du marché, ce qui limite son champ d application, mais il reste le modèle de base le plus utilisé dans les travaux de recheche, parmi ces imperfections la log-normalité du processus du prix du sous-jacent, ce qui suppose la constance de la volatilité qui est en contradiction avec la courbe de "smile", ce qui a amené certains chercheurs à conclure que même la volatilité ne peut être qu une variable d état stochastique. La confection d un modèle précis pour une évaluation correcte et able des produits nanciers est un dé majeur que les praticiens attendent toujours pour l amélioration ou le remplacement du modèle Black-Scholes. L évaluation des produits dérivés est devenu varié et compliqué, ce qui fait appel aux évolutions les plus pointues et complexes des mathématiques, le scienti que est à la recherche du modèle équitable entre les contractants et juste pour permettre, de minimiser les erreurs de gestion, capter la logique du marché, tirer pro t et en n se couvrir contre un risque donné. La modélisation est devenue complexe vu que les acteurs de la nance n ont pas les mêmes informations d où la di érence des anticipations, l utilisation d un modèle aujourd hui, restera-t-il valable demain? En nance, la rapidité dans les calculs est trés importante car les acteurs nanciers ont besoin de conseils en temps réel dans un marché continu, de la part des spécialistes, la manipulation des grandes sommes d argent exigent la précision du modèle utilisé. La plupart des modèles d évaluation des options utilisent l une des deux approches, soit la résolution d une équation aux dérivées partielles du second ordre avec des conditions aux limites propres à chacun des problémes, soit l approche martingale (raisonnement risque neutre). Le but de la présente thèse est donc d étudier les di érents modèles d évaluation des options Européennes, basées sur un indice bourcier, par des équations di érentielles stochastiques (EDS) où la volatilité n est plus constante, en partant du modèle de Black-Scholes. Plusieurs travaux menaient par des chercheurs Wiggins (1987)[27], Hull-White (1987)[14] et Scott (1987)[23] ont conclu que la volatilité des rendements d un actif sous-jacent suit aussi une variable aléatoire, qui dépend et évolue avec le temps, ce qui nous amene à dire que l évaluation du prix d une option ne peut être expliquer que par les variations stochastiques des deux variables d état, le prix du sous-jacent et la volatilité. La réalité de marché des options a obligé les modélisateurs en mathématiques nanciéces à tenir compte de la corrélation des variations entre ces deux variables.

13 Introduction 4 La modélisation de la volatilité n est pas evidente vu qu elle n est pas observable sur le marché, avec une dynamique particuliére de la volatilité et sous certaines conditions, les chercheurs Stein & Stein (1991)[24] et Heston (1993)[15] sont arriver à trouver une solution analytique pour un modèle à volatilité stochastique. Les autres travaux de la majorité des chercheurs ont eu recours à la résolution numérique des équations, Merton (1976)[21], Johnson & Shanno (1985)[17], Eisenberg (1985), Hull & White (1987)[?], Scott (1987)[23], Wiggins (1987)[27], Stein & Stein (1991)[24], Heston (1993)[15], Cli ord & Roma (1994), Gurdip & al. (1997) et Fouque & al. (2000)[11]. Cette thèse comporte quatres chapitres : Le premier comporte trois sections, la première dé - nit les notions de base du langage nancier, ainsi que le métier de Trader un élément clé dans la négociation des produits nanciers, la deuxième section traite les notions de probabilité en général et la troisiéme est consacrée aux notions fondamentales sur le calcul stochastique. Le deuxième chapitre est consacré entièrement au modèle de Black & Scholes, ma contribution dans ce chapitre est une simulation numérique pour montrer la courbe "Smile" sur les actions d Apple ainsi qu une simulation des valeurs d options pour di érentes valeurs de volatilités, en utilisant le logiciel R. le troixième chapitre traite trois modèles nanciers à volatilité stochastique Hull & White[?], Stein & Stein[24] et George Papanicolaou & K. Ronnie[11] Sircar. En n le quatrième chapitre traite un modèle où la racine carré de la volatilité suit le processus d Ornstein-Uhlenbeck arithmétique. L équation aux dérivées partielles de Garman correspondante est résolue numériquement par la méthode de di érences nies où les simulations numériques sont réalisées par le logiciel MATLAB. La contribution personnelle réside dans le fait de pouvoir utiliser une technique de changement de variables pour simpli er l EDP, l écrire sous une forme canonique tout restant dans la situation où le coe cient de corrélation n est pas égal à zéro[13].

14 Chapitre 1 Rappel 1.1 Notions fondamentales sur le langage nancier Action Une action (en anglais britannique : share, en anglais américain : stock) est un titre de propriété délivré par une société de capitaux ( une société anonyme ou Société en commandite par actions). Elle confère à son détenteur la propriété d une partie du capital, avec les droits qui y sont associés : intervenir dans la gestion de l entreprise et en retirer un revenu appelé dividende. Le détenteur d actions est quali é d actionnaire et l ensemble des actionnaires constitue l actionnariat Obligation Une obligation (en anglais : bond) est une valeur mobilière qui est un titre de créance représentatif d un emprunt. En tant que tel, l obligation est cessible et peut donc faire l objet d une cotation sur une Bourse, un marché secondaire. Dans la pratique, les volumes échangés se négocient principalement de gré à gré indice boursier Un indice boursier est une mesure statistique calculée par le regroupement des valeurs des titres de plusieurs sociétés. L indice boursier sert généralement à mesurer la performance d une bourse ou d un marché.

15 1.1 Notions fondamentales sur le langage nancier Taux de change Le taux de change d une devise (une monnaie) est le cours (autrement dit le prix) de cette devise par rapport à une autre. On parle aussi de la parité d une monnaie. Les taux de change, cotés sur les marchés des changes, varient en permanence ; ils varient également en fonction de la place de cotation Flux nancier Le ux nancier s exerce entre di érents secteurs institutionnels, c est la valeur de ventes et d achats dans une période comptable, le plus souvent un trimestre ou une année Marché nancier Les marchés nanciers, (en anglais, on dit de plus en plus : capital markets, soit marchés de capitaux, au lieu de nancial markets), sont les marchés où sont e ectuées les transactions sur des actifs nanciers et de plus en plus, leurs produits dérivés Actif nancier Un actif nancier est un titre ou un contrat, généralement transmissible et négociable (par exemple sur un marché nancier), qui est susceptible de produire à son détenteur des revenus et/ou un gain en capital, en contrepartie d une certaine prise de risque Produit dérivé Un produit dérivé ou contrat dérivé ou encore derivative product est un instrument nancié : dont la valeur uctue en fonction de l évolution du taux ou du prix d un produit appelé sous-jacent ; qui ne requiert aucun placement net initial ou peu signi catif ; dont le réglement s e ectue à une date future. Il s agit d un contrat entre deux parties, un acheteur et un vendeur, qui xe des ux nanciers futurs fondés sur ceux d un actif sous-jacent, réel ou théorique, généralement nancier.

16 1.1 Notions fondamentales sur le langage nancier Forward Un contrat forward est un contrat à terme, il est donc considéré comme un produit dérivé ( nance). Il s agit d un accord d acheter ou de vendre un actif à un prix et une date future précisée dans le contrat. En fait, la dé nition du forward est identique à celle des contrats futures à la di érence prés qu ils sont négociés de gré à gré, entre banques et institutions nancières alors que les contrats de futures sont négociés sur un marché organisé, localisé à un endroit bien précis Contrat à terme Un contrat à terme (future en anglais) est un engagement ferme de livraison standardisé, dont les caractéristiques sont connues à l avance, portant sur : une quantité déterminée d un actif sous-jacent précisément dé ni, à une date, appelée échéance, et un lieu donné et négocié sur un marché à terme organisé. Les contrats à terme sont les instruments nanciers les plus traités au monde Swap Le swap (de l anglais to swap : échanger) ou l échange nancier est un produit dérivé nancier. Il s agit d un contrat d échange de ux nanciers entre deux parties, qui sont généralement des banques ou des institutions nancières Option Une option est un produit dérivé, en nance de marché, qui donne le droit, lorsqu on l achate, ou l obligation, lorsqu on la vend, d acheter ou de vendre un actif nancieré un prix xé à l avance (strike) pendant un temps donné ou à une date xée, dans une optique de spéculation ou d assurance. Il existe également des options dites exotiques qui obéissent à des régles plus complexes, les stock options, en tant que forme de rémunération.

17 1.1 Notions fondamentales sur le langage nancier Warrant Un warrant est un contrat transférable qui confère à son détenteur le droit, et non l obligation, d acheter ou de vendre une quantité donnée d un actif spéci que, à un prix déterminé d avance, à la date d échéance du contrat (warrant européen) ou en tout temps jusqu à cette date (warrant américain) Actif sous-jacent On appelle actif sous-jacent tout actif sur lequel porte une option ou plus largement un produit dérivé. Il peut être nancier (actions, obligations, bons du Trésor, contrats à terme, devises, indices boursiers...) ou physique (matiéres premiéres agricoles ou minérales...). L actif sous-jacent est l actif réel sur le prix contractuel duquel porte le produit dérivé concerné. Il désigne en e et l instrument support d un contrat à terme dont la qualité est strictement dé nie Volatilié En nance, la volatilité est une mesure de l ampleur des variations du cours d un actif nancier. Elle sert de paramètre de quanti cation du risque de rendement et de prix d un actif nancier. Lorsque la volatilité est élevée, l espérance de gain est plus importante, mais le risque de perte aussi. C est par exemple le cas de l action d une société plus endettée, ou disposant d un potentiel de croissance plus fort et donc d un cours plus élevé que la moyenne. Si la croissance des ventes est moins forte qu espérée ou si l entreprise peine à rembourser sa dette, la chute du cours sera trés forte. La notion est plus souvent utilisée pour les oscillations à court terme que pour les grandes uctuations boursières sur plusieurs années, souvent quali ées (bien qu irrèguliéres dans leur fréquence) de cycles boursiers. En réalité, le terme volatilité concerne aussi bien le court terme que le moyen et long terme. Il ne caractérise pas l indécision du marché, mais l ampleur des variations de cours qu il peut subir, à la hausse comme à la baisse, les variations de court terme n étant que des anticipations des variations à moyen et long terme. Les traders sont appelés les risk player en ce sens qu ils parient notamment sur la volatilité future.

18 1.1 Notions fondamentales sur le langage nancier Trader Parfois appelés " golden boy", les traders sont des négociateurs de valeurs engagés par une banque, une société de bourse, une société d investissement. Spéculateurs nanciers, ns analystes économiques, ils ont une mission principale : anticiper les uctuations permanentes du cours de valeurs boursières pour engendrer des pro ts. Description des tâches et conditions de travail Le métier de trader est une activité professionnelle liée aux échanges internationaux. Elle consiste à gérer du risque nancier en jouant sur des écarts de cours, le plus souvent à court terme. C est un métier stressant et à haut risque. En e et, le trading demande une réactivité permanente puisqu il faut décider en temps réel de l achat ou de la vente d actions, de devises, d obligations ou d options. Concrètement, le trader doit acheter aux uns pour revendre à d autres. Pour y parvenir, il est armé de plusieurs téléphones, de fax, de télex, de micro-ordinateurs qui délivrent des informations en temps réel et permettent de surveiller l évolution et les uctuations des marchés internationaux. Il jauge et apprécie les risques, xe ou propose parfois le prix des produits et négocie, minute par minute, les transactions : achat ou vente. Il posséde une trés bonne maitrise du fonctionnement de l économie, jongle avec les modèles mathématiques les plus sophistiqués, les statistiques et l informatique, sans oublier une parfaite connaissance de l anglais. Le trader a également des compétences administratives et d excellentes notions de gestion. Il est résistant physiquement et nerveusement car les salles de marchés dans lesquelles il travaille sont toujours en e ervescence même si elles sont moins bruyantes qu autrefois. Les journées de travail sont longues puisque l ouverture des bourses des marchés internationaux se succédent tout au long de la journée (Tokyo, Frankfort, Paris, Londres, New York). En général, il travaille dans les grandes villes, où sont implantées les bourses de valeurs, les grandes entreprises, les sociétés de bourse, les banques, etc.

19 1.1 Notions fondamentales sur le langage nancier 10 Salaires et revenus Le salaire d un trader est trés variable. Il se compose d une rémunération de base à laquelle on ajoute une prime/rétribution annuelle proportionnelle aux pro ts obtenus. En termes de salaire la fourchette retenue se situe entre et e par mois. Evolution professionnelle Le trader peut se spécialiser dans la gestion d actions, de bons du Trésor, de devises (cambiste), de matières premières ou énergétiques. Un trader peut devenir" market maker", ou " teneur de marché". Cela implique une présence active et permanente sur le marché. Il doit produire des prix compétitifs en toutes circonstances. Un trader peut aborder d autres métiers de la nance et de la Bourse : gestionnaire de portefeuille, trésorier d entreprise... Il peut également travailler au " back o ce" et contréler l exécution des ordres, l encaissement des ventes et détecter toute anomalie juridique ou comptable. Etudes et formations Pour devenir trader, il faut être diplômé d une école de commerce ou de gestion, ou titulaire d un 3e cycle universitaire en nances, gestion, droit ou économie. Une parfaite maîtrise d une ou plusieurs langues étrangéres est indispensable. Quelque soit votre pro l, pour vous aventurer dans une salle de Front O ce une solide formation initiale en mathématiques ainsi qu une expérience dans le secteur bancaire ou boursier con rmée par une formation professionnelle complémentaire sont des atouts majeurs Stratégie et marché Stratégie Une stratégie est dé nie par un processus aléatoire = 0 n; 1 n; ::: d n; 0nN à valeurs dans R d+1 donnant à chaque instant les quantités 0 n; 1 n; ::: d n des diverts actifs, détenues en portefeuille.

20 1.2 Notions fondamentales sur les probabilités 11 Stratégie admissible Une stratégie est dite admissible si elle est auto nanéée et V n () 0 pour tout n 2 f0; 1; 2; 3; ::::; Ng où V n () est la valeur du portfeuille à l instant n. Stratégie d arbitrage Une stratégie d arbitrage est une stratégie admissible de valeur initiale nulle et de valeur nale non nulle. Marché viable On dit qu un marché est viable s il n existe pas de stratégie d arbitrage. Théorème Un marché est viable si, et seulement si, il existe une probabilité P équivalente à P sous laquelle les prix des actifs sont des martingales. Actif simulable On dit qu un actif conditionnel dé ni par une variable aléatoire h est simulable(ou atteignable) s il existe une stratégie admissible dont la valeur à l instant N est égale à h. Marché complet On dit qu un marché est complet si tout actif conditionnel est simulable. Théorème Un marché viable est complet si, et seulement si, il existe une probabilité P équivalente à P sous laquelle les prix actualisés des actifs soient des martingales. 1.2 Notions fondamentales sur les probabilités Variable aléatoire Formellement, une variable aléatoire réelle est une application X d un univers muni d une probabilité p vers R. Cette application crée un nouvel univers X() de réels sur lequel on peut construire une probabilité issue de p. Cette probabilité s appelle loi de probabilité de X. Il arrive souvent que l on oublie l univers pour ne s intéresser qu à l univers X().

21 1.2 Notions fondamentales sur les probabilités 12 La fonction de répartition d une variable aléatoire X est la fonction F dé nie sur R par F (x) = p(x x). Dans le cas d une variable discrète, c est une fonction en escalier. En e et : si x < x 1 alors F (x) = 0 si x 1 < x < x 2 alors F (x) = p 1 si x 2 < x < x 3 alors F (x) = p 1 + p 2... si x n 1 < x < x n alors F (x) = p 1 + p 2 + ::::: + :p n 1 si x x n alors F (x) = Densité de probabilité En théorie des probabilités ou en statistiques, une densité de probabilité est une fonction qui permet de représenter une loi de probabilité sous forme d intégrales. Formellement, une loi de probabilité possède une densité f, si f est une fonction dé nie sur R positive ou nulle et Lebesgue-intégrable, telle que la probabilité de l intervalle [a, b] soit donnée par pour tous nombres a et b. Z a b f(x)dx (1.1) Cela implique que l intégrale de f sur tout R donne 1. Réciproquement, pour toute fonction f positive ou nulle et Lebesgue-intégrable, d intégrale égale à 1 : Z +1 ff(x) 0 8xg et f(x)dx = 1 1 (1.2) il existe une loi de probabilité ayant f pour densité de probabilité Espérance mathématique L espérance mathématique d une variable aléatoire est l équivalent en probabilité de la moyenne d une série statistique en statistiques. Elle se note E(X) et se lit espérance de X. L espérance est dé nie pour les variables aléatoires à valeurs dans R (ou C) de la manière suivante : Cas d une variable discrète :

22 1.2 Notions fondamentales sur les probabilités 13 Si X prend un nombre ni n de valeurs réelles : x 1 ; x 2 :::::::x n avec les probabilités p 0 ; p 1 ; p 2 ; ::::::p n alors nx E(X) = p i x i (1.3) Si X prend un nombre dénombrable de valeurs réelles : x 0; x 1 ; x 2 :::::::x i :::: avec les probabilités, p 0 ; p 1 ; p 2 ; ::::::p i :::: alors i=1 E(X) = X p i x i (1.4) i2n si la série converge absolument. La convergence absolue assure que la division de la série ne dépend pas de la manière de numéroter les termes. Cas d une variable à densité de probabilité : Si X a pour densité de probabilité f alors Z E(X) = xf(x)dx (1.5) à condition que cette intégrale existe. Cas d une application mesurable sur un espace de probabilité : Si X est une application mesurable de (; B; p) dans R, positive ou P -mesurable Z Z E(X) = XdP = xp x dx (1.6) (où P x est la probabilité image) Variance R R En statistique et probabilité, la variance est une mesure arbitraire servant à caractériser la dispersion d une distribution ou d un échantillon. Soit X une variable aléatoire réelle dont le moment d ordre 2, à savoir E(X 2 ) existe. V ar(x) V (X) E((X E(X)) 2 ) (1.7) On peut interpréter la variance comme la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. Elle permet de caractériser la dispersion des valeurs par rapport à la moyenne. Ainsi, une distribution avec une même espérance et une variance plus grande apparaîtra comme plus étalée. Le fait que l on prenne le carré de ces écarts à la moyenne évite que des écarts positifs et négatifs ne s annulent.

23 1.2 Notions fondamentales sur les probabilités Covariance En statistiques, la covariance est un nombre permettant d évaluer le sens de variation de deux variables et, par là, de quali er l indépendance de ces variables. Deux variables ayant une covariance non nulle sont dites dépendantes, par exemple, dans une population donnée, le poids et la taille sont des variables dépendantes. Cependant, elles ne sont pas corrélées, la corrélation est une relation linéaire, or le poids ne varie généralement pas proportionnellement à la taille. En théorie des probabilités et en statistique, on nomme covariance de deux variables aléatoires réelles X et Y la valeur : cov(x; Y ) (X E(X))(Y E(Y )) (1.8) On note parfois cov(x; Y ) = XY. Intuitivement, la covariance est une mesure de la variation simultanée de deux variables aléatoires. C est à dire que la covariance devient plus positive pour chaque couple de valeurs qui di érent de leur moyenne dans le même sens, et plus négative pour chaque couple de valeurs qui di érent de leur moyenne dans le sens opposé Loi normalle gaussienne En probabilité, on dit qu une variable aléatoire réelle X suit une loi normale (ou loi normale gaussienne, loi de Laplace-Gauss) d espérance et d écart type strictement positif (donc de variance 2 ) si cette variable aléatoire réelle X admet pour densité de probabilité la fonction p(x) dé nie, pour tout nombre réel x, par : Une telle variable aléatoire est alors dite variable gaussienne. On note habituellement cela de la manière suivante : p(x) = 1 p 2 e 1 2 ( x )2 (1.9) X N(; ) (1.10) La loi normale est une des principales distributions de probabilité. Elle a été introduite par le mathématicien Abraham de Moivre en 1733 et utilisée par lui a n d approcher des probabilités associées à des variables aléatoires binomiales possédant un paramètre n trés

24 1.3 Notions fondamentales sur le calcul stochastique 15 grand. Cette loi a été mise en évidence par Gauss au XIXe siécle et permet de modéliser de nombreuses études biométriques. Sa densité de probabilité dessine une courbe dite courbe en cloche ou courbe de Gauss. On appelle loi normale (ou gaussienne) centrée réduite la loi dé nie par la densité de probabilité ' : R! R + dé nie par : '(t) = 1 p 2 e 1 2 (t)2 (1.11) On véri e qu elle est continue et que son intégrale sur R est égale à 1. On sait en e et que : appelé intégrale de Gauss Loi Log-normale Z +1 1 e 1 2 (t)2 dt = 2 (1.12) En probabilité et statistique, une variable aléatoire X est dite suivre une loi log-normale de paramètres et si la variable Y = ln(x) suit une loi normale de paramètres et. Cette loi est parfois également appelé loi de Galton. Une variable peut être modélisée par une loi log-normale si elle est le résultat de la multiplication d un grand nombre de petits facteurs indépendants. La loi log-normale de paramètres et admet pour densité 1 x p 2 e (ln(x) )2 =(2)2 (1.13) pour x > 0. et sont la moyenne et l écart type du logarithme de la variable (puisque par dé nition, le logarithme de la variable est distribué selon une loi normale de moyenne et d écart-type ). L espérance E(X) = e +2 =2 et la variance (e 2 1)e Notions fondamentales sur le calcul stochastique Le calcul stochastique est l étude des phénomènes aléatoires dépendant du temps. A ce titre, il est une extension de la théorie des probabilités.

25 1.3 Notions fondamentales sur le calcul stochastique Processus aléatoire Un processus aléatoire X est une famille de variables aléatoires indexée par un sous-ensemble de R ou N, souvent assimilé au temps. C est donc une fonction de deux variables, le temps et l état du monde!. L ensemble des états du monde est traditionnellement noté. L application qui à un! xé associe X(!; t), t variable, est appelée trajectoire du processus ; c est une simple fonction du temps (sans caractére aléatoire) qui représente la réalisation particuliére du processus sous l occurence!. Pour un t donné, X(!; t) est une simple variable aléatoire dont la valeur exacte n est connue qu en t. Le mouvement brownien est un exemple particuliérement simple de processus aléatoire indexé par R. Il peut-être dé ni comme l unique processus W t à accroissement gaussien tel que la corrélation entre W t et W s soit min(t; s). On peut également le voir comme la limite d une marche aléatoire lorsque le pas de temps tend vers Filtration Une ltration F t ; t 2 N, est une famille de sous-tribus emboitées de, qui peut s interpréter comme l information disponible qui évolue au cours du temps. Ainsi, une ltration est une famille de sigma-algèbres, indexée par le temps t 0 telle que F s F t si s t, ce qui re ète l augmentation de l information disponible Mouvement brownien Le mouvement brownien, ou processus de Wiener est une description mathématique du mouvement aléatoire d une grosse particule immergée dans un uide et qui n est soumise à aucune autre interaction que des chocs avec les petites molécules du uide environnant. Il en résulte un mouvement trés irrégulier de la grosse particule, qui a été décrit pour la premiére fois en 1827 par le botaniste Robert Brown en observant des mouvements de particules à l intérieur de grains de pollen de Clarkia pulchella (une espéce de eur sauvage nord-américaine), puis de diverses autres plantes. La description physique la plus élémentaire du phénomène est la suivante : entre deux chocs, la grosse particule se déplace en ligne droite avec une vitesse constante, la grosse particule est accélérée lorsqu elle rencontre une molécule de uide ou une paroi.

26 1.3 Notions fondamentales sur le calcul stochastique 17 Ce mouvement permet de décrire avec succés le comportement thermodynamique des gaz (théorie cinétique des gaz), ainsi que le phénomène de di usion. Il est aussi trés utilisé dans des modèles de mathématiques nancières. Brown aperçut dans le uide situé à l intérieur des grains de pollen (le mouvement brownien n a pas été observé sur les grains de pollen eux-mêmes comme souvent mentionné), de trés petites particules agitées de mouvements apparemment chaotiques. Ceux-ci ne pouvaient s expliquer par des écoulements, ni par aucun autre phénomène physique connu. Dans un premier temps, Brown les attribua donc à une activité vitale. L explication correcte du phénomène viendra plus tard. Brown n est pas exactement le premier à avoir fait cette observation. Il signale lui-même que plusieurs auteurs avaient suggéré l existence d un tel mouvement (en lien avec les théories vitalistes de l époque). Parmi ceux-ci, certains l avaient e ectivement décrit. On peut mentionner en particulier l abbé John Turberville Needham ( ), célébre à son époque pour sa grande maîtrise du microscope. La réalité des observations de Brown a été discutée tout au long du XXe siécle. Compte tenu de la médiocre qualité de l optique dont il disposait, certains ont contesté qu il ait pu voir véritablement le mouvement brownien, qui intéresse des particules de quelques micromêtres au plus. Les expériences ont été refaites par l Anglais Brian Ford au début des années 1990, avec le matériel employé par Brown et dans les conditions les plus semblables possibles. Le mouvement a bien été observé dans ces conditions, ce qui valide les observations de Brown Notion de processus stochastique La di culté de modélisation du mouvement brownien réside dans le fait que ce mouvement est aléatoire et que statistiquement, le déplacement est nul : il n y a pas de mouvement d ensemble, contrairement à un vent ou un courant. Plus précisément, à un instant donné, la somme vectorielle des vitesses de toutes les particules s annule (il n y a pas de mouvement d ensemble), si on suit une particule donnée au cours du temps, le barycentre de sa trajectoire est son point de départ, elle " virevolte" autour du même point. Il est di cile dans ces conditions de caractériser le mouvement. La solution fut trouvée par Louis Bachelier et présentée dans sa thèse soutenue le 29 mars Il démontra que ce qui caractérise le mouvement, ce n est pas la moyenne arithmétique des positions mais la moyenne quadratique p hx 2 i, si

27 1.3 Notions fondamentales sur le calcul stochastique 18 x(t) est la distance de la particule à sa position de départ à l instant t, alors : X 2 = 1 t Z t 0 x 2 () d (1.14) On démontre que le déplacement quadratique moyen est proportionnel au temps : X 2 = 2dDt (1.15) où d est la dimension du mouvement (linéaire, plan, spatial), D le coe cient de di usion, et t le temps écoulé Dé nition mathématique du mouvement brownien On peut dé nir de façon formelle un mouvement brownien : c est un processus stochastique dont les accroissements disjoints sont indépendants et tels que B t+s B t suit une loi normale de moyenne nulle et de variance s. Cette dé nition permet de démontrer des propriétés du mouvement brownien, comme par exemple sa continuité (presque sûre), le fait que presque sûrement, la trajectoire n est di érentiable nulle part, et de nombreuses autres propriétés. On pourrait également dé nir le mouvement brownien par rapport à sa variation quadratique moyenne. Cette dé nition, classiquement appelée théoréme de Levy, donne la caractérisation suivante : un processus stochastique à trajectoires continues dont la variation quadratique est t est un mouvement brownien. Ceci se traduit mathématiquement par le fait que pour une ltration donnée (B t ) (t0) et (B 2 t t) (t0) sont des martingales Martingale En calcul stochastique, une martingale désigne un type de processus stochastique, c est-à-dire un processus aléatoire et dynamique. Ce type de processus X est tel que sa valeur espérée connaissant l information disponible à une certaine date s, dénotée F s, est la valeur à cette méme date : E(X t jf s ) = X s avec s t (1.16) X est un processus adapté à la ltration F. On parlera de sous-martingale si E(X t jf s ) X s et de sur-martingale si E(X t jf s ) X s.

28 1.3 Notions fondamentales sur le calcul stochastique Martingale dans N. Soit (F n ) n0 une ltration et soit (M n ) n0 une suite de variables aléatoires. On dit que (M n ) n0 est une martingale par rapport à (F n ) n0 si : 1 (M n ) n0 est adaptéeé la ltration (F n ) n0 2 M n est intégrable pour tout n 3 E(M n+1 jf n ) = M n Exemple de martingale à temps continu On peut par exemple dé nir des martingales avec des mouvements browniens. Ceci a de nombreux liens avec l intégration stochastique. On commence par dé nir la ltration comme étant la ltration naturelle d un mouvement brownien standard (B t ) (t). Alors le processus stochastique (M t = Bt 2 t) (t) est une martingale. Ceci donne par ailleurs la décomposition de Doob de la sous-martingale (Bt 2 ) (t) Processus adapté On dit que le processus (X n ) n0 est adapté à la ltration (F n ) n0 si X n est F n pour tout n. mesurable Intégrale d Itô L intégrale stochastique d un processus X t par rapport à un processus B t est décrite par l intégrale : Z b a X t db t (1.17) elle est dé nie comme la limite en moyenne quadratique des sommes correspondantes de la forme : X Xti B ti+1 B t1 (1.18) Un point essentiel lié à cette intégrale est le lemme d Itô. La somme comme le produit de variables aléatoires est dé nie dans la théorie des probabilités. La somme implique une convolution de la fonction de densité des probabilités, et la multiplication est une addition répétée.

29 1.3 Notions fondamentales sur le calcul stochastique Processus d Itô On dé nit alors un processus d Itô comme étant un processus stochastique X t de la forme Z t Z t X t = X 0 + u(s; w)ds + v(s; w)db s (1.19) 0 0 avec u et v deux fonctions aléatoires satisfaisant quelques hypothèses techniques d adaptation au processus B t et! est une réalisation dans l espace de probabilité sous-jacent. Dans le formalisme du calcul di érentiel avec la prescription d Itô, on note de façon équivalente la relation précédente comme dx t = u(s; w)dt + v(s; w)db t (1.20) Il existe une autre prescription notable pour dé nir une intégrale stochastique, c est la prescription de Stratonovich. L intégrale de Stratonovich est dé nie comme la limite des sommes discrètes X X ti ti+1 2 (Bti+1 B t1 ) (1.21) La di érence notable avec la prescription d Itô est que la quantité X t i t i+1 n est pas indépendante au sens des probabilités de la variable B ti+1 B t1. Ainsi, contrairement à 2 la prescription d Itô, dans la prescription de Stratonovich on a 0 1 Z b a X t db t A 6= 0 (1.22) ce qui complique, de ce point de vue, certains calculs. Cependant l utilisation de la prescription de Stratonovich ne choisit pas une direction du temps privilégiée contrairement à celle d Itô, ce qui implique que les processus stochastiques dé nis par l intégrale de Stratonovich satisfont des équations di érentielles stochastiques invariantes par renversement du temps. Pour cette raison, cette prescription est souvent utilisée en physique statistique. Il faut noter cependant qu il est possible de passer de l une à l autre des prescriptions en e ectuant des changements de variables simples ce qui les rend équivalentes. Le choix de prescription est donc une question de convenance.

30 1.3 Notions fondamentales sur le calcul stochastique Intégrale de Wiener et intégrale stochastique Soit Z le mouvement brownien standard dé ni sur l espace probabilisé (; A; F; P ) et un processus adapté à F. On suppose par ailleurs que véri e : 0 1 Z T 0 2 sdsa < +1 (1.23) Alors, l intégrale stochastique de par rapport à Z est la variable aléatoire : 0 Z T Lemme d Itô 0 s dz s A = Lim N!+1 N X n=1 n 1 (Z n Z n 1 ) (1.24) Soit x un processus stochastique tel qu on a dx = adt + bdz où z est un processus de Wiener standard. Alors d aprés le lemme d Itô, on a pour une fonction G = G(x; t) Processus d Ornstein-Uhlenbeck dg = dg dg dt + dt dx dx + 1 d2 G 2 b2 dt (1.25) dx2 Le processus d Ornstein-Uhlenbeck est un processus stochastique décrivant (entre autres) la vitesse d une particule dans un uide, en dimension 1. On le dé nit comme étant la solution X t de l équation di érentielle stochastique suivante : dx t = p 2dB t X t dt (1.26) où B t est un mouvement brownien standard, et avec X 0 une variable aléatoire donnée. Le terme db t traduit les nombreux chocs aléatoires subis par la particule, alors que le terme X t dt représente la force de frottement subie par la particule. La formule d Itô appliquée au processus e t X t nous donne : p d e t X t = e t X t dt + e t 2dBt X t dt = e tp 2dB t (1.27) soit, sous forme intégrale : p Z t X t = X 0 2e t e s db s (1.28) 0

31 1.3 Notions fondamentales sur le calcul stochastique 22 Par exemple, si X 0 vaut presque sûrement x, la loi de X t est une loi gaussienne de moyenne xe t et de variance 1 e 2t, ce qui converge en loi quand t tend vers l in ni vers la loi gaussienne centrée réduite Equation di érentielle stochastique (EDS) Une équation di érentielle stochastique EDS est une généralisation de la notion d équation di érentielle prenant en compte un terme de bruit blanc. Les EDS permettent de modéliser des trajectoires aléatoires, tels des cours de bourse ou les mouvements de particules soumises à des phénomènes de di usion. Elle permettent aussi de traiter théoriquement ou numériquement des problèmes issus de la théorie des équations aux dérivées partielles. Les domaines d application des EDS sont vastes : physique, biologie, dynamique des populations, écologie, mathématiques nancières, traitement du signal, théorie du contrôle,... Une équation di érentielle stochastique EDS est la donnée d une équation du type dx = (X; t)dt + (X; t)dw t (1.29) où X est un processus aléatoire inconnu, que l on appelle communément équation de di usion. Intégrer l EDS, c est trouver l ensemble des processus véri ant la di usion entière Volatilité stochastique La volatilité stochastique est utilisée dans le cadre de la nance quantitative, pour évaluer des produits dérivés, tels que des options. Le nom provient du fait que le modèle traite la volatilité du sous-jacent comme un processus aléatoire, fonction de variable d états telles que le prix du sous-jacent, la tendance qu à la volatilité, à moyen terme, à faire revenir le prix vers une valeur moyenne, la variance du processus de la volatilité. Les modèles de volatilité stochastiques présentent l une des approches pour résoudre l une des lacunes du modèle Black & Scholes, qui ne prend pas en compte le fait que la volatilité sous-jacente peut ne pas être constante, pendant le temps de vie du produit dérivé, et que celui-ci est a ecté par le changement de valeur du sous-jacent. Cependant, ces modèles ne peuvent expliquer certaines caractéristiques bien connues de la volatilité implicite, telles que le smile de volatilité ou le biais de volatilité, qui indique que la

32 1.3 Notions fondamentales sur le calcul stochastique 23 volatilité implicite a tendance à varier en accord avec le prix d exercice et la date d expiration du produit dérivé. En supposant que la volatilité du prix du sous-jacent est un processus stochastique, plutôt qu une constante, il devient possible de modéliser les produits dérivés avec plus de précision. Dans le modèle à volatilité constante, nous supposons que le prix du produit dérivé suit un mouvement Brownien géométrique standard : ds t = S t dt + S t dw t (1.30) où est le drift constant(le retour espéré) du prix du sous-jacent S t, est la volatilité constante, et dw t est une gaussienne standard de moyenne nulle et d écart type unitaire. La solution explicite de cette équation di érentielle stochastique est S t = S 0 exp(( )t + W t ) (1.31). L estimation du Maximum de vraisemblance, pour la volatilité constante dépendant des prix du marché à di érentes périodes t i nous donne 2 = 1 nx 2! log S ti log S ti 1 n (t i t i 1 ) Son espérance est i=1 1 (log S tn log S t0 ) 2 n (t n t 0 ) (1.32) E( 2 ) = n 1 n 2 (1.33) Ce modèle de base, avec une volatilité constante est le point de départ des modèles à volatilité non-stochastique, telle que Black-Scholes et Cox-Ross-Rubinstein. Pour un modèle à volatilité stochastique, on remplace la volatilité constante par une fonction t, qui modélise la variance de S t. Cette fonction de variance est aussi modélisé par un mouvement brownien et la courbe de t dépend du modèle de volatilité stochastique étudié. ds t = S t dt + 2p S t dw t (1.34) d t = S;t dt + S;t db t (1.35) où S;t et S;t sont des fonctions de et db t est une autre gaussienne, corrélé à dw t par un facteur de corrélation constant.

33 1.3 Notions fondamentales sur le calcul stochastique Matrice stochastique En mathématiques, une matrice stochastique (aussi appelée matrice de Markov) est une matrice carrée dont chaque élément est un réel compris entre 0 et 1 et dont la somme des éléments de chaque ligne vaut 1. Cela correspond, en probabilité, à la matrice de transition d une chaîne de Markov nie. Une matrice est dite doublement stochastique si la somme des éléments de chaque ligne et de chaque colonne vaut Méthode Monté-Carlo On appelle méthode de Monte-Carlo toute méthode visant à calculer une valeur numérique, utilisant des procédés aléatoires, c est-à-dire des techniques probabilistes. Le nom de ces méthodes, qui fait allusion aux jeux de hasard pratiqués à Monte-Carlo, a été inventé en 1947 par Nicholas Metropolis, et publié pour la première fois en 1949 dans un article co-écrit avec Stanislas Ulam. Les méthodes de Monte-Carlo sont particulièrement utilisées pour calculer des intégrales en dimensions plus grandes que 1 (en particulier, pour calculer des surfaces, des volumes, etc.). La méthode de simulation de Monte-Carlo permet aussi d introduire une approche statistique du risque dans une décision nancière. Elle consiste à isoler un certain nombre de variablesclés du projet telles que le chi re d a aires ou la marge... et à leur a ecter une distribution de probabilité. Pour chacun de ces facteurs, on e ectue un grand nombre de tirages aléatoires dans les distributions de probabilité déterminées précédemment, a n de déterminer la probabilité d occurrence de chacun des résultats. Le véritable développement des méthodes de Monte-Carlo s est e ectué, sous l impulsion de John von Neumann et Stanislas Ulam notamment, lors de la Seconde Guerre mondiale et des recherches sur la fabrication de la bombe atomique. Notamment, ils ont utilisé ces méthodes probabilistes pour résoudre des équations aux dérivées partielles dans le cadre de la Monte-Carlo N-Particle transport.

34 Chapitre 2 Etude du modèle Black & Scholes F. Black et M. Scholes ont proposé de modéliser la dynamique du cours X t du sous-jacent par l équation di érentielle stochastique dx t = X t dt + X t dw t X 0 = x (2.1) -X représente le sous-jacent, X t son cours à la date t, - est le rendement instantané, supposé constant, -W est un mouvement brownien standard. Le sous-jacent est une action ou un indice boursier. Dans ce modèle, est une constante strictement positive, une quantité supposée indépendante du temps et du hasard qu on appelle volatilité. Nous considérons également un actif sans risque X 0 dont la valeur à la date t est Xt 0 = e rt. Ceci revient à supposer le taux d intérêt à cours terme constant égal à r, L équation (2.1) a des conséquences importantes : 1. Le processus X est un mouvement brownien geométrique, on dispose d une expression explicite pour X t X t = x exp W t + ( 2 2 )t (2.2) qui prouve que le logarithme du cours X t suit une loi gaussienne de moyenne ( 2 )t et de 2 variance 2 t. On peut écrire (2.2) sous la forme X t = xe t M t, où M t = exp W 2 t t est 2 une P -martingale. 2 Le marché est viable et complet :

35 Etude du modèle Black & Scholes Il existe une et une seule probabilité P? sous la quelle le processus des prix actualisés (e rt X t ) t0 de l actif risqué est une P? -martingale. Cette probabilité est appelée probabilité risque neutre. 2.2 L évolution du sous-jacent s écrit dx t = rx t dt + X t dw? t X 0 = x (2.3) où W? est un P? -mouvement brownien. 2.3 Toute option européenne de payo H 2 L 2 (P? ; F T ), c est-à-dire toute option dé nie par une variable aléatoire H F T -mesurable et de carré intégrable sous la probabilité P? est simulable : il existe un unique portefeuille admissible, c-à-d auto nancé et minoré, ne contenant que l actif sans risque et de l actif risqué, dont la valeur en T est H. De plus, la valeur V (t) de l option est, sous la probabilité risque-neutre, l espérance actualisée du ux terminal H : V (t) = E? e r(t t) H jf t Ceci est une conséquence du Théorème de représentation des martingales browniennes, on note (W s ; 0 s t) = (W s? ; 0 s t). Alors on peut se couvrir parfaitement c-à-d éliminer le risque, en gérant dynamiquement un portefeuille ne contenant que du liquide et du sous-jacent. On admet que V(t) est indépendant de la tendance. Si H = h(x t ), avec h continue et positive, dans ce cas particulier le prix de l option se met sous la forme P (t; X t ) P (t; X t ) = E? e r(t t) h(exp((w? T W? t ) + (r La fonction P est solution de l équation aux dérivées partielles L BS ()P = 0 8x > 0; P (T; x) = h(x) 2 )(T t)) 2 (2.4) (2.5) où L BS + x2 + (2.6)

36 Etude du modèle Black & Scholes 27 La quantité d actif risqué à détenir à la date t est a (t; X t) cette quantité est appelée le delta. Par conséquent, le portefeuille de converture contient b t = e rt (P (t; X t ) (t; X t)) unités d actif sans risque. Si le call correspond au payo h(x) = (x K est le strike, T la maturité et K) +, on note dans ce cas P (t; X t ) = C BS (t; x; K; T; ); C BS (t; x; K; T; ) = xn(d + ) Ke r(t t) N(d ) (2.7) d + = d = ln x Ke r(t t) p T ln t x Ke r(t t) p T t p T t (2.8) 1 2 p T t De plus, le portefeuille contient la quantité a t = N(d + ) d actifs risqués. Ceci prouve que l égalité (2.7) donnant le prix du call sous Black et Scholes donne aussi la décomposition du portefeuille de converture en actif risqué et en actif sans risque. Tout ceci reste vrai, si on autorise le taux d intérêt à cours terme appelé taux cours, et la volatilité à dépendre du temps, mais pas du hasard. Il su t de remplacer r par r = 1 T t Z T t r s ds (2.9) et par b 2 b 2 = 1 T dans les formules (2.4), (2.5), (2.6), (2.7) et (2.8). t Z T t 2 sds (2.10) Le modèle de Black et Scholes sert de réference à tous ceux qui pratiquent la nance des marchés :

37 Etude du modèle Black & Scholes Il est simple : adopter le modèle de Black et Scholes, c est simplement supposer les cours X à trajectoires continues et à accroissement relatifs indépendants et stationnaires. 2. Il est maniable : il donne lieu à des formules fermées pour le prix des calls et des puts, et pour les deltas correspondants, c est-à-dire pour les quantités d actifs risqués que doit contenir le portefeuille de converture. Ce pendant : 1. Tous les tests statistiques invalident l hypothèse log-normale pour le cours du sousjacent. En realité, il semble que les queues de distribution soient plus épaisses que ne le prévoit le modèle de Black et Scholes. De plus, les queues de distributions empiriques de ln(x t ) sont parfois asymétriques. 2. On dé nit la volatilité implicite I par l égalité C obs (t; x; K; T ; I) = C obs où C obs est le prix observé du call de maturité T et de de strike K. La dé nition a un sens puisque! C obs (t; x; K; ) est une bijection de R + sur (x K) + ; x. Ainsi dé nie, I est une fonction de t; x; K; T et C obs. Si les prix observés étaient les prix prévus par le modèle de Black et Scholes, la fonction K! I t; x; K; C obs serait constante et égale au paramètre. Or, la courbe empirique K! I t; x; K; C obs porte souvent le nom de courbe de "smile" en référence à son allure souriante ( convexe décroissante puis croissante). Pour expliquer ces phénomes, il faut ra ner le modèle. Il y a bien des façons de le faire, par exemple autoriser les cours X t à avoir des sauts ou dépendre de t et de x, la seule source de bruit restant le mouvement brownien W, c est ce que propose B. Dupire [5] et [6]. Une manière naturelle d étendre le modèle de Black et Scholes [2]est d autoriser la volatilité à être un processus stochastique gouverné par un deuxième bruit modélisé par un deuxième mouvement brownien bz éventuellment correlé à W, mais non parfaitement corrélé, contrairement au cas du modèle de B. Dupire[?][?], on conserve l écriture dx t = X t dt + t X t dw t mais est désormais un processus aléatoire dépendant du temps et du hasard (W; b Z). Comment choisir ce processus? On souhaite que la volatilité t soit une quantité F t -mesurable et

38 Etude du modèle Black & Scholes 29 strictement positive. Aussi on propose de l écrire sous forme t = f(y t ), où f : R! R + est une fonction déterministe et Y est un processus aléatoire à valeurs réelles F t -adapté. On se limite aux processus Y qui sont markoviens. Par exemple : 1. un processus markovien de sauts pur à espace d états ni ou dénombrable. 2. un processus markovien de sauts pur à espace d états in ni non dénombrable. 3. une di usion markovienne du type. dy t = Y (t; Y t )dt + Y (t; Y t )dz b t (2.11) Il y a une bonne raison a priori de considérer la volatilité comme une quantité aléatoire, des études empiriques sur les rendements du cours sous-jacent permettent d estimer la volatilité et celle-ci semble présenter un comportement stochastique. Mais modéliser la volatilité par un processus stochastique, c est en fait reconnaitre que quanti er le risque à travers un paramètre de volatilité constant est aujourd hui insu sant pour expliquer certains phénomènes de marché. En particulier pour exliquer la courbe de smile. Et c est une modi cation profonde et puissante qui permet de décrire un marché bien plus complexe que le marché de Black et Scholes : 1. on peut reproduire des lois plus réalistes pour les rendements, en particulier les queues de ces distributions sont plus épaisses que celles des lois lognormales. 2. on peut rendre ces distributions asymétriques en corrélant les bruits W et Z. b 3. on peut faire apparaitre du smile. Evidemment rien n est gratuit, surtout dans le monde de la nance des marchés, il faut payer le prix de ces améliorations. 1. on ne peut pas observer directement la volatilité, estimer les paramétres du modèle et le niveau actuel de la volatilité sont donc des problèmes di ciles. 2. le marché ainsi modélisé est incomplet, lorsqu on traite une option, on ne peut pas éliminer le risque en gérant un portefeuille contenant du liquide et du sous-jacent. En e et, la variation in nitésimale de la valeur d un tel portefeuille contient des termes en dw t et dz t que l on ne peut annuler simultanément.

39 2.1 Volatilité Volatilité la volatilité et le taux d intérêt sont des éléments non obsorvables dans le calcul d une option or la volatilité est un paramètre essentiel dans la valorisation d une option, c est un paramètre aléatoire contrairemet à ce que prévoyer le modèle de Black-Scholes, qui le considére comme élément constant, ce qui estime principalement ce paramètre sont la volatilité historique et la volatilité implicite. L estimation de la volatilité est l élément essentiel et le plus délicat pour l évaluation des options car la valeur d une option est trés sensible aux variations de la volatilité. Les prix des options peuvent s estimer di éremment et changer brusquement, alors que le prix du sous-jacent reste stable.cette situation est cruciale pour faire du "trading", elle facilite la spéculation sur la volatilité des cours. Si un opérateur anticipe une volatilité futur plus forte que celle anticipée par le marché, il achete des options qu il estime sous-évaluées, dans l espoir de les revendre avec béni ce, si le marché réalise son erreur avant la date d expiration. Le cas d anticipation de volatilité moins forte ou faible, il vends des options qu il croit sur-évaluées, de ce fait on parle de vente ou d achat de volatilité à la place de vendre ou acheter des options.

40 2.1 Volatilité 31

41 2.1 Volatilité 32 Volatilité historique La volatilité est estimée par les données historiques, beaucoups de chercheurs l ont utilisés, Black-Scholes [2], Galai (1977) et Finnerty (1978). La volatilité est donnée par l écart type de rendement R t du sous-jacent, au cours de la période qui précéde l émission des options. Si on considère le sous-jacent ne délivre pas de dividentes, ce rendement est donné par R t = S t S t dt S t dt = ds S = d(ln S) (2.12) Le rendement instantané du sous-jacent est supposé suivre un mouvement Brownien géométrique suivant la formule où W t est un processus de Wiener-Lévy Volatilité implicite ds S = dt + dw t (2.13) La volatilité implicite consiste à utiliser les prix observés sur les marchés pour extraire une volatilité, elle est liée à la valeur présente du marché et se base sur le prix présent de l option qui inclue les prévisions des événements futurs, elle est liée intimement avec le processus de di usion du sous-jacent, dans le cas du modèle de Black-Scholes, celui-ci est brownien

42 2.1 Volatilité 33 géomtrique, ce qui ne colle pas avec la réalité. La volatilité implicite de Black-Scholes est donnée par la volatilité qui égalise le prix de l option donné par la formule de Black- Scholes et le prix de l option observé sur le marché. Son calcul nécessite l inversion de la formule d évaluation de Black-Scholes, tout en considérant la valeur de l option sur le marché. Cette inversion est conditionnée par la valeur du marché, la fonction de la volatilité est une bijection. L invertion d une formule d évaluations d options permet d estimer les anticipations du marché, concernant la volatilité future des cours des actifs sous-jacents. Si un opérateur détient une option qu il veut estimer sa volatilité, il observe le cours coté de cette même option la veille c-à-d un cours coté de l option sur le même titre pour une autre échéance, il suppose la formule de Black-Scholes exacte, il déduit la volatilité entant qu inconnue à partir du cours observé et ceci permet le calcul de la valeur future de l option. Cette façon d estimer les calculs est trés utilisé par les praticiens. Pour inverser les formules d évaluation, le calcul de la volatilité implicite est approché par des méthodes numériques "Smile" de la volatilité La volatilité est le seul paramètre inobservable dans le modèle de Black-Scholes, on peut considérer le prix de l option comme fonction de la volatilité, si ce modèle était parfait, la volatilité implicite serait la même quelque soit le prix du marché de l option. Des études empiriques ont montré que la volatilité est liée au prix d exercice de l option et de sa durée de vie résiduelle, quand il s agit d une option européenne. Si on représente la volatilité implicite en fonction du prix d exercice de l option, en xant la maturité, on obtient une courbe de forme convexe plutôt qu une droite horizontale comme le suppose le modèle de Black & Scholes, cette forme de la courbe est désigné de "smile" par les chercheurs et les praticiens Exemple On considére le prix d un call dont le sous-jacent est une action Apple, nous avons collectés les prix des options pour di erentes Strikes ; pour la période du 23 Avril 2009 au 17 Juillet 2009, l échéance T est de 60 jours ouvrables, la valeur actuelle du sous-jacent est de Dollars. S <- yahooseries("aapl", from = " ", to = " ")

43 2.1 Volatilité 34 Close <- S[, "AAPL.Close"] X <- returns(close) Delta <- 1/252 sigma.hat <- sqrt(var(x)/delta) sigma.hat Pt <- c(22.2, 18.4, 15.02, 11.9, 9.2, 7, 5.2, 3.6, 2.62, 1.76, 1.28, 0.8, 0.53, 0.34, 0.23, 0.15, 0.09, 0.1) K <- c(105, 110, 115, 120, 125, 130, 135, 140, 145, 150, 155, 160, 165, 170, 175, 180, 185, 190) S0 < np <- length(pt) T <- 60 * Delta r < smile <- sapply(1 :np, function(i) GBSVolatility(Pt[i], "c", S = S0, X = K[i], Time = T, r = r, b = r)) vals <- c(smile, sigma.hat) plot(k, smile, type = "l", ylim = c(min(vals, na.rm = TRUE), max(vals, na.rm = TRUE)), main = "") abline(v = S0, lty = 3, col = "blue") abline(h = sigma.hat, lty = 3, col = "red") axis(2, sigma.hat, expression(hat(sigma)), col = "red")

44 2.1 Volatilité Conclusion Le modèle de Black-Scholes a été toujours une référence pour tous ceux touchent de prés ou de loin à la nance des marchés. Il est trés utilisé dans le monde de la nance, alors que ces hypothèses ne sont pas toujours réalistes. Il suppose que la taux d intérêt est constant or celui-ci est de toute évidence stochastique, car il uctue aléatoirement, ce modèle a eu un succés commercial que les autres modèles n ont pu égalisé. la volatilité implicite donne une meilleure prévision de la volatilité future que la volatilité historique et fournit des résultats plus ables pour évaluer des options Latané et Rendeleman en (1976) et Becker (1981). Ce modèle suppose que la volatilité du sous-jacent est constante ou bien fonction déterministe et connue, or les series temporelles de la volatilité montrent que cette dernière est variable et imprédictible ce qui veut dire aléatoirement fonction du temps donc stochastique. La volatilité n est pas observée directement et sa valeur est trés di cille à quanti er et lui donner une mesure, la di culté réside dans la modélisation d une variable inobservable. Le modèle de Black-Scholes [2] considère le cours du sous-jacent suit un processus de di usion dans le temps, ce qui n est pas réaliste, car le cours du sous-jacent peut faire des sauts inattendus de temps en temps, ils sont le produit d événements inattendus. Ces sauts sont, souvent, des chutes du cours, ce qu on appelle des "Krach".

45 Chapitre 3 Etude de quelques modèles Financiers à volatilité stochastique 3.1 Modèle de Hull et White Déscription du modèle On considère les hypothèses suivantes : on prend le call européen de valeur V sur une action, r le taux d intérêt sans risque (constant ou déterministe). Le processus suivi par l action S et la variance instantanée V est donné par le systéme suivant : 8 < ds = Sdt + SdW dv = V dt + V dz : dw t;s :dw t;z = dt où est le coe cient de corrélation entre dw et dz V = 2 = f(s; ; t) = f(; t) et = f(; t) (3.1) Le système a deux variables d états S et. Nous avons l équation aux dérivées partielles de Garman à S V "2 2 [ v ( rv (3.2)

46 3.1 Modèle de Hull et White 37 v est le vecteur des bétas de régression multiplé par le rendement de la variance par rapport au portefeuille de marché. est le vecteur de rendement instantané espéré du portefeuille de marché. Si v ( r) = 0, on S V "2 V 2 = rv (3.3) La résolution analytique de cette EDP se fait en faissant un changement de mesure de probabilité, on utilise le Théorème de Girsanov, pour avoir une probabilité risque neutre et actualiser au taux sans risque de V (S; 2 ; t), on obtient : On note par : T = la maturité ; V S t ; 2 t ; t = e r(t t) Z S t = le prix de l actif sous-jacent à la date t ; t = la volatilité instantanée à la date t ; p (S T js t ; 2 t ) la distribution conditionnelle de S T sachant S t et t V S T ; 2 T ; T p S T =S t ; 2 t dst (3.4) V S; 2 ; t = max [0; S K] (3.5) On a les conséquences suivantes : Les fonctions de densité conditionnelle sont en fonction de 3 variables (x; y; z) : Z p(x jy ) = g(x jz )h(z jy )dz Soit la variance moyenne sur la durée de vie de l option, dé nie par l intégrale stochastique : La distribution de S T s écrit : V = 1 T t Z T t 2 d (3.6) Z p(s T 2 t ) = g(s T j )h( 2 t )dv (3.7)

47 3.1 Modèle de Hull et White 38 En n, on obtient V (S T ; 2 t ; t) = e r(t t) Z Z C(S T )g(s T V )h(v 2 t )ds T dv d où Z Z V (S T ; 2 t ; t) = e r(t t) C(S T )g(s T j )ds T h( 2 t )dv (3.8) Dans un monde risque neutre on a : ds = rsdt + Sdz (3.9) d 2 = 2 dt + 2 dw (3.10) Z T = 1 2 (t)dt (3.11) T 0 où r le taux sans risque supposé constant, et sont indépendants de S les processus de Wiener sont indépendants P (log(s(t ) js(0) j ) N(rT si on note M() la variance moyenne, on a ; T ) (3.12) 2 M() = S t N(d 1 ) Ke r(t t) N(d 2 ) (3.13) avec d 1 = log(s t=k) + (r + V =2)(T t) q V (T t) (3.14) d 2 = d 1 qv (T t) (3.15) alors la valeur de l option est V Z S; 2 t = M()h(= 2 t )dv (3.16) Conclusion La formule d évaluation est valide dans un monde risque neutre, le problème est la loi de distribution de V, qui est inconnue, on ne peut donc pas déduire de forme analytique du prix du call. On connait tous les moments de la distribution (E(),Skew... ), d où la nécessité d utiliser une autre méthode. Deux critiques majeures se présentent, premièrement, il n y a pas de prise en compte d une prime de risque de volatilité, deuxièment les hypothèses de processus non corrélés entre le sous-jacent et la volatilité

48 3.2 Modèle de Elias M. Stein & Jeremy C.Stein Modèle de Elias M. Stein & Jeremy C.Stein Introduction Dans l article de Stein et Stein[24], une formule fermée est obtenue pour la distribution du sous-jacent, qui s avére être un mélange de distributions log-normales. Les prix de calls déduits de cette formule présentent une forme en U de volatilité proche des phénomènes de marché. Ce U n est pas capturé par le modèle de Black Scholes, d où l intérêt d utiliser les modèles à volatilité stochastique, ils ont étudié la distribution des prix des actions, dans le cas où les prix S des sous-jacents suivent un mouvement brownien géométrique et la volatilité suit un processus de Ornstein-Uhlenbeck arithmétique. On considére les dynamiques de S et ds t = S t dt + S t dw 1 t (3.17) d t = ( )dt + kdw 2 t (3.18) Avec Wt 1 et Wt 2 deux mouvements browniens non corrélés, le taux de retour à la moyenne, k un facteur constant. Les auteurs cherchent à évaluer des options dans un monde où la volatilité suit un processus autorégressif. Ce qui caractérise ce modèle, est le retour à la moyenne pour que la volatilité reste en général au voisinage des mêmes niveaux. Empiriquement, on constate que les probabilités de volatilité négatives sont trés faibles donc négligeables Intégration des équations du modèle Soit l équation Une intégration de cette équation nous donne ds t S t = dt + dw 1 t (3.19) S T = S t e TR 2 TR du+ u2 udwu 1 t t (3.20) pour intégrer (3.18), on pose X t = t et Y t = e t X t, on a dy t = ke t dw 2 t

49 3.2 Modèle de Elias M. Stein & Jeremy C.Stein 40 on déduit Y T X T = e (T Z T Y t = k t Z T t) X t + k e (u) dw 2 u (3.21) e (T u) dw 2 u (3.22) Z T T = + ( t ) e (T t) + k t t e (T u) dw 2 u (3.23) L équation (3.20) fait apparaitre dans l exponentielle la variable aléatoire gaussienne cette gaussienne est centrée et de variance moyenne l équation (3.20) devient v u T;t = t 1 T S T = e r(t TR u dwu, 1 TR 2 udu. On introduit la volatilité quadratique t t Z T t 2 udu (3.24) t) S t e 2 u 2 (T t)+ T;tW T (3.25) où W T est un mouvement brownien, les deux mouvements browniens étant indépendants, la volatilité est indépendante de W 1 t, l égalité précédente est valable en loi Prix d un call européen par la formule fermée L origine de la di culté de ce modèle est que la volatilité suit un processus stochastique. Ainsi, a n de trouver une formule fermée donnant le prix d un call, il faut au préalable déterminer la densité conditionnelle du sous-jacent et donc la densité conditionnelle de la volatilité dont elle dépend. Densité de la volatilité t Conditionnelement à F t la tribu du passé dé nie par ( t ; S u ; 0 < u < t), T gaussienne dont la moyenne et la variance sont d aprés (3.23) suit une loi E ( T j t ) = + ( t ) e (T t) (3.26) V ar ( T j t ) = k2 2 1 e 2(T t) (3.27)

50 3.2 Modèle de Elias M. Stein & Jeremy C.Stein 41 On constate que l espérance tend bien vers lorsque T tend vers l in ni. De même, on véri e que la variance n explose pas mais tend bien vers k2. Ce modèle semble donc bien 2 adapté à la description de l évolution d une volatilité. En e et, une volatilité tend à osciller autour de sa moyenne avec une variance bornée. Le facteur k qui indique la variance du mouvement brownien associé à la volatilité et fait augmenter la variance. Au contraire, le facteur traduisant la force de retour vers la position d équilibre et fait diminuer la variance. Il est à noter que ces paramètres doivent être calibrés pour correspondre au mieux au marché. Précisons simplement qu il serait judicieux de véri er aprés calibration que la probabilité d avoir une volatilité négative soit trés faible. En e et, le modèle Stein & Stein posséde le défaut de permettre à t de prendre des valeurs négatives. Densité du sous jacent Soit f 0 la densité de S T quand = 0, f la relation entre ces deux dernières est la densité conditionnelle de S T avec quelconque, f (S T js 0 ; 0 ; r; T; ; ; k ) = e rt f 0 S T e rt (3.28) Stein et Stein prouvent que lorsque la volatilité est un processus d Ohrstein-Uhlenbeck, on obtient la distribution du sous-jacent à T à partir de la densité conditionnée à 0 de la variable aléatoire T;t notée m T. Si on note f L;N (S T js 0 ; T; r; ) la densité log-normale du sous-jacent dans le cas d un modèle de Black & Scholes classique à volatilité déterministe, on montre que Z f (S T js 0 ; 0 ; r; T; ; ; k ) = f L;N (S T js 0 ; T; r; ) m T ()d (3.29) La densité du sous-jacent devient un mélange de distributions log-normale. Pour déterminer m T, les auteurs passent par une sorte de transformée de Laplace de m T (), ils introduisent la fonction I(), qui dépendent de 0 et T Z I() = E e 2 T;0 = e 2 m T ()d (3.30) On démontre que f 0 (S T ) = 1 S0 2 S T S 0 Z 1 1 I T ST cos ln 4 2 S 0 d (3.31)

51 3.2 Modèle de Elias M. Stein & Jeremy C.Stein 42 L essentiel de ces travaux consiste à obtenir une expression analytique de cette transformée de Laplace. On utilise la formule de Feynman-Kac pour montrer que I() solution d une EDP, on aboutit à un résultat qui donne I() sous la forme I() = exp L T () M T () 0 + N T () où L T, M T et N T sont trois fonctions Soient est reliée à la (3.32) A = k 2 ; B = k 2 ; C = k 2 t a = (A 2 2C) 1 A 2 ; b = a sinh(ak 2 t) + b cosh(ak 2 t) L = A a cosh(ak 2 t) + b sinh(ak 2 t) b sinh(ak 2 t) + b 2 cosh(ak 2 t) + 1 b 2 M = B cosh(ak 2 t) + b sinh(ak 2 t) 1 N = a A a 2 AB 2 B 2 a k 2 t + B2 [A 2 a 2 ] 2a ( 2 ) 2a 3 (2A + a) + (2A a) e 2ak2 t (A + a + (a A) e 2ak2 t ) + 2AB2 [a 2 A 2 ] e 2ak2 t a 3 (A + a + (a A) e 2ak2 t ) 1 1 A 2 log 2 a I = exp L M 0 + N A e 2ak2 t a A l aide de I(), on pose f(x) = S:P (S; t), en e ectuant le changement de variables x = log(s) et en utilisant les transformées de Fourier et la formule d inversion, on a P (S; t) = e t S 0 Se t avec S 0 (S; t) la distribution du prix des actions dans le cas où le drift est nul Z 1 S 0 (S; t) = (2) 1 S 3 2 I t e t log S d (3.33) 4 2 v= 1

52 3.3 Modèle Jean-Pierre Fouque, George Papanicolaou et K. Ronnie Sircar 43 Prix d un call européen Pour valoriser le prix d un call européen, il su t de faire des approximations de la double intégrale C t = Z 1 K (S T K) f (S T js 0 ; 0 ; r; T t; ; ; k ) ds T (3.34) L intégration numérique a été faite par Stein & Stein en utilisant la méthode des quadratures de type Romberg, les prix présentés ont été trouvés en moins d une minute. 3.3 Modèle Jean-Pierre Fouque, George Papanicolaou et K. Ronnie Sircar Décription du modèle Le modèle proposé par les auteurs est le suivant : On se limite aux di usions markoviennes, parmi celles qui possédent la propriété de retour à la moyenne Y (t; y) = (m y) (3.35) Le paramètre s appelle le taux de retour à la moyenne et le paramétre m la moyenne à long terme. On voit que Y t comme la position à la date t d une particule soumise à une force de rappel d intensité qui a tendance à la ramener à sa position d équilibre (déterministe) m est une force aléatoire, par exemple des chocs modélisés par le bruit Y (t; Y t )d b Z t. Le choix Y (t; Y t ) =, où est une constante, correspond au processus dit d Ornstein-Uhlenbeck. 8 < dx t = X t dt + t X t dw t t = f(y t ) (3.36) : dy t = (m Y t )dt + dz b t X représente le sous-jacent, X t son cours à la date t, est le rendement instantané, supposé constant, t est la valeur à la date t de la volatilité du cours du sous-jacent, elle mesure l intensité du bruit t X t dw t auquel est soumis le cours du sous-jacent, W t est un mouvement brownien standard, la volatilité est elle-même un processus stochastique, fonction déterministe du processus Y, la fonction est dé nie sur R à valeurs strictement positives,

53 3.3 Modèle Jean-Pierre Fouque, George Papanicolaou et K. Ronnie Sircar 44 Y est un processus d Ornstein-Uhlenbeck, de moyenne à long terme m et de variance à long terme 2 2, Z b t est un mouvement brownien standard éventuellement corrélé à W t ; on suppose cette D corrélation constante et on la note, avec 2 ] 1; 1[, de sorte que d W; Z b E = dt. Si on dé nit par Z t par l égalité b Z = W t + p 1 browniens indépendants. 2 Z t, alors W t et Z t sont deux mouvements On se place sur un espace de probabilité (; F; P ) muni de la ltration F t = (W s ; Z s ; 0 s t). Par exemple, on pourra considérer l espace = C 0 (R + ; R 2 ) des fonctions continues à valeurs dans R 2 muni de sa tribu borélienne et de la mesure de Wiener sur cette tribu. Dans ce cas, il faut voir un événement ponctuel! comme trajectoire t! (W t (!); Z t (!)). Par ailleurs, la ltration F t représente l information sur les deux mouvements browniens W t et Z t jusqu à la date t, c est l augmentation habituelle de la tribu engendrée par les ensembles de la forme f! 2 jjw s j R 1 ; jz s j R 2 ; 0 s tg. On se place sous l hypothèse d abscense d opportunité d arbritrage (AOA). Plus précisement, on suppose l existence d une probabilité sur (; F) sous laquelle le prix des actifs actualisé est une martingale locale Prix d une option europenne Modélisation par une EDP On considére la dynamique (3.36) et on veut évaluer le prix d une option européenne d échéance T 1 et de payo h continue, l acheteur d une telle option recoit h(x T1 ) en T 1. L absence d opportunité d arbitrage et l hypothèse markovienne nous assure l existence d une fonction P (T 1) : R + R + R 7! R +, que nous supposons su sament assez réguliére, telle que le prix de cette option à la date t 2 [0; T 1 ] s écrit P (T 1) (t; X t ; Y t ). Le risque ne peut être annulé avec uniquement l actif sous-jacent. Alors on considère un portefeuille qui contient a t unités d actifs risqués, b t unités d actifs sans risque et c t options européennes d échéance T 2 > T 1 et de même payo h. Le but est de trouver a t ; b t t et c t tel que le portefeuille réplique l option et soit auto nané. L hypothèse de réplication correspond à l égalité P (T 1) (T 1 ; X T1 ; Y T1 ) = a T1 X T1 + b T1 e rt 1 + c T1 P (T 2) (T 1 ; X T1 ; Y T1 ) (3.37)

54 3.3 Modèle Jean-Pierre Fouque, George Papanicolaou et K. Ronnie Sircar 45 et l hypothèse d auto nancement à dp (T 1) (t; X t ; Y t ) = a t dx t + b t d(e rt ) + c t dp (T 2) (t; X t ; Y t ) (3.38) Par absence d opportunité d arbitrage, l égalité (3.38) nous donne pour tout t T 1 P (T 1) (t; X t ; Y t ) = a t X t + b t (e rt ) + c t P (T 2) (t; X t ; Y t ) (3.39) c est à dire que la valeur du portefeuille est à tout instant égale au prix de l option. Par la formulle d Itô, on a dp (T1) (t; X t ; Y t ) (T 1) (t; X t ; Y t )dt (t; X t; Y t )dxt + (T (t; X t; Y t )dy t + 2 P (T 1) (t; X 2 t ; Y t )d hxi t + 2 P (T 1) (t; X t; Y t )d hx; Y i t + 2 P (T 1) (t; X 2 t ; Y t )d hy i t dp (T 1) (t; X t ; Y t ) = A 1 P (T 1) (t; X t ; Y t )dt (T 1) où A 1 est l opérateur dé ni par (T (t; X t; Y t )dy (t; X t; Y t )dxt (3.41) A Mais, d aprés l hypothèse d auto nancement, la variation in nitésimale de la valeur du portefeuille est aussi égale à dp (T 1) (t; X t ; Y t ) = a t dx t + b t d(e rt ) + c t dp (T 2) (t; X t ; Y t ) dp (T 1) (t; X t ; Y t ) = a t dx t + rb t e rt dt + c t (A 1 P (T 2) (t; X t ; Y t )dt (T (t; X t; Y t )dxt (t; X t; Y t )dy t) dp (t; X t ; Y t ) = a (T 2) t + c (t; (T 2) t; Y t ) dx t + c (t; X t; Y t )dy t

55 3.3 Modèle Jean-Pierre Fouque, George Papanicolaou et K. Ronnie Sircar 46 Il n y a de termes en dz t que dans dy t, si bien que l identi cation des termes en dz t donne c t = L identi cation des termes en dw t (T 1 (t; X t ; Y t (T 2 (t; X t ; Y t ) (3.43) a t (T (t; X t; Y t ) c (t; X t; Y t ) (3.44) d où on déduit b t = e rt P (T 1) (t; X t ; Y t ) a t X t c t P (T 2) (t; X t ; Y t ) (3.45) En n l identati cation des termes en dt donne A 1 P (T 1) (T2) (t; X t ; Y t )dt + X (t; t; Y t ) + (m Y t (t; X t; Y t ) (3.46) = c t A 1 P (T2) (t; X t ; Y t ) + rb t e + a (T 2) t + c (t; X t; Y t ) X (T 2) +(m Y t )c (t; X t; Y t ) qui s écrit aussi en remplaçant a t ; b t et c t par leurs expressions : (T 1 ) (t; X t; Y t ) A 2 P (T1) (t; X t ; Y t (T 2 ) (t; X t; Y t ) A 2 P (T2) (t; X t ; Y t ) où A 2 = A 1 Autrement dit, si on dé nit l opérateur U par ) (3.47) U = A 2 alors UP (T 1) (t; X t ; Y t ) = UP (T 2) (t; X t ; Y t ) (3.49) Comme le membre de gauche dépend de T 1 mais pas de T 2 et que le membre de droite, dépend de T 2 mais pas de T 1, les membres sont en fait indépendants de T 1 et de T 2. Moralement,

56 3.3 Modèle Jean-Pierre Fouque, George Papanicolaou et K. Ronnie Sircar 47 l opérateur U annule la dépendance en l échance. Il existe donc une fonction : R + R +R 7! R telle que quelle que soit son échéance T > 0, une option de payo h a un prix P (T ) (t; X t ; Y t ) qui véri e UP (T ) (t; X t ; Y t ) = (t; X t ; Y t ) (3.50) L option de payo h et d échéance T a un prix P (t; X t ; Y t ), qui véri e l équation A 1 P (t; X t ; Y t ) (t; X t ; Y (t; X t; Y t ) = 0 (3.51) On introduit les fonctions et dé nies par (t; x; y) = (t; x; y) (m y) (3.52) et (t; x; y) = r f(y) + p 1 2 (t; x; y) (3.53) Avec ces notations, l égalité (3.51) se réecrit, en omettant la dépendance en (t; X t ; Y t + 2 X2 t f(y t 2 + X t f(y t P r 2 t P + (m = 0 Cette égalité étant vraie ps, le prix P est solution de l équation aux dérivées partielles avec la condition terminale (L BS (f(y)) + L OU + L 1 )P (t; x; y) = 0 (3.54) P (T; x; y) = h(x) (3.55) L BS + x2 + (3.56) est l opérateur de Black et Scholes de paramètre de volatilité f(y) L OU = (3.57) est le générateur in nitésimal du processus d Ornstein-Uhlenbeck L 1 (t; (3.58) est un opérateur faisant intervenir la corrélation d une part, en facteur de la dérivée croisée et la fonction d autre part. Cette dernière formule est appelée prime de risque de volatilité.

57 3.3 Modèle Jean-Pierre Fouque, George Papanicolaou et K. Ronnie Sircar 48 Plus précisement, la fonction r f est exactement la prime de risque liée à la première source de bruit W et est exactement la prime de risque liée à la deuxième source de bruit Z. En e et, une variation in nitésimale du prix de l option s écrit, en utilisant (3.54) et la formule d Itô : dp (t; X t ; Y t ) = (rp r X t f(y t f(y t (t; X t ; Y t ) p )dt + (X tf(y +( p )dz )dw t La fonction agrége les primes de risque liées aux deux sources indépendanttes de hasard à travers (3.53). D où, on comprend pourquoi la fonction s écrit sous la forme (3.52) et (3.53). Interprétation probabiliste On cherche à donner une interprétation probabiliste du prix P (t; x; y), on pose W t = r f(y t) Z t = (t; X t ; Y t ) (3.60) et M t = exp Z t 0 W s dw s Z t 0 Z s dw s 1 2 Z t 0 W s 2 + Z 2 s ds (3.61) Sous certaines conditions techniques, par exemple la condition Novi-kov : E Z 1 T exp 2 0 W s 2 + Z 2 s ds < 1 (3.62) M est une P -martingale. On dé nit alors une mesure de probabilité P () en posant dp () (!) = M T (!)dp (!) (3.63) Cette nouvelle probabilité est équivalente à P et, d aprés le Théorème de Girsanov, les processus W t = W t + Z t 0 W s ds (3.64)

58 3.3 Modèle Jean-Pierre Fouque, George Papanicolaou et K. Ronnie Sircar 49 et Zt = Z t + sont deux P () -mouvements browniens indépendants. On a Z t 0 Z s ds (3.65) dx t = X t dt + f (Y t ) X t dw t dx t = X t dt + f (Y t ) X t dwt r f(y t ) dt dx t = rx t dt + f (Y t ) X t dw t (3.66) et dy t = (m Y t )dt + d b Z t dy t = (m Y t )dt + (dw t + p 1 2 dz t ) dy t = (m Y t )dt + (dwt r f(y t ) dt) + p 1 2 (dzt (t; X t ; Y t )dt) dy t = ((m Y t ) (t; X t ; Y t ))dt + dwt + p 1 2 dzt (3.67) Si on pose cz t = W t + p 1 2 dz t On dé nit un P () -mouvement brownien et on peut réécrire la dynamique sous la forme 8 < dx t = rx t dt + t X t dwt t = f(y t ) (3.68) : dy t = f(m Y t ) (t; X t ; Y t )g dt + dz b t Sous la probabilité P (), le processus des prix actualisés ( e X t ) 0tT dé ni par ex t = e rt X t est une martingale locale. On se place sous les hypothèses qui assurent que c est en fait une vraie P () martingale. On pourra par exemple supposer que Z T E () f(y t ) 2 Xt 2 dt < 1 0 ou même seulement E () 2s 3 Z T 4 f(y t ) 2 Xt 2 dt5 < 1 0

59 3.3 Modèle Jean-Pierre Fouque, George Papanicolaou et K. Ronnie Sircar 50 Alors si on évalue l option européenne de maturité T et de payo H = h(x T ) par V t = E () e r(t t) h(x t ) jf t (3.69) on supprime alors toute possibilité d arbitrage. L énorme inconvénient de ce modèle à volatilité stochastique, lorsqu on le compare au modèle de Black et Scholes, c est qu à chaque fonction (t; x; y) correspond une probabilité risque neutre P (). On peut adopter le point de vue suivant : le marché sélectionne naturellement une prime de risque de volatilité qu il s agit de mesurer en étudiant l historique des donnés sur l ensemble des prix d options cotés sur le marché. Pour se faire, il sera sans doute raisonnable de supposer d abord que est une constante, puis de considrer que ne dépend que de y ou éventuellement de t et de y. Dans ces derniers cas en e et, la dynamique de Y reste autonome, au sens où la dynamique de X n interfére pas avec celle de Y. Retenons qu il existe a priori une in nité de possibles, auxquels correspondent une in nité de probabilités risque-neutre équivalentes P (). Cette propriété est caractéristique de l incomplétude du marché. Il semble cependant raisonnable, étant donnée l interprétation nancière de, de considérer que des fonctions y 7! (y) soient bornées. D aprés (3.68), la prime de risque n intervient que dans le terme de drift de Y où elle s ajoute au terme (m Y t ) qui lui n est pas borné. Il est donc légitime de penser que ne joue qu au second ordre. Ainsi, lors des simulations numériques, on ne considére que le cas = 0. Analyse asymptotique L idée principale de Jean-Pierre Fouque, George Papanicolaou et K. Ronnie Sircar[11] est de considérer : d une part que la volatilité posséde la propriété de retour à la moyenne, qu on modélise par la force de rappel déterministe (m Y t )dt d autre par que ce retour à la moyenne est rapide. On suppose donc que l intensité de la force de rappel est grande, est l inverse d un temps. Il s agit donc de comparer = 1 le temps caractéristique de retour à la moyenne à l échelle de temps du probléme : T t. Aussi on considére que << (T t) de manière équivalente que >> (T t) 1.

60 3.3 Modèle Jean-Pierre Fouque, George Papanicolaou et K. Ronnie Sircar 51 Retour à la moyenne Le processus d Ornstein-Uhlenbeck Y de dynamique dy t = (m Y t )dt + d b Z t Y O = y (3.70) a une expression explicite pour Y t Y t = m + (y m)e t + Z t 0 e (T t) d b Z t (3.71) Qui prouve que Y t suit la loi gaussienne de moyenne m + (y m)e t et de variance 2 (1 e 2t ), où 2 = 2 2, Y t converge en loi lorsque t 7! +1 vers = N(m; 2 ), la gaussienne de moyenne m et de variance 2 :

61 de l option V 1 en quantité n 1 P = V ns n 1 V 1 (4.2) Chapitre 4 EDP modélisant le prix d un call à volatilité stochastique -Modèle Heston 4.1 Modélisation d une option à volatilité stochastique L objectif principal de ces modèles est de résorber les biais et donner une évaluation plus dèle du prix de l option. On considère les spéci cations relatives aux dynamiques des variables d état 8> < >: ds t = S t dt + S t dw t;s t = f(z t ) = (Z t ) 2 dz t = p(t; S; )dt + q(t; S; )dw t;z dw t;s :dw t;z = dt (4.1) V 1 l option à la monnaie comme actif primitif. L idée majeure est la construction d un portefeuille composé de l option V que l on cherche à évaluer, du sous-jacent S en quantité n et Nous étudions le rendement de ce portefeuille, car le portefeuille doit être auto nançant dp = dv nds n 1 dv 1 (4.3) Si on applique le lemme d Itô aux options V et V 1, on obtient @V dt + @Z d + 2 V 2 (ds)2 + 2 V 2 (d)2 V (ds)(dz) de même pour V 1 dv 1 ds dz + 2 V 1 2 (ds)2 + 2 V 1 2 (dz)2 V 1 (ds)(dz)

62 4.1 Modélisation d une option à volatilité stochastique 53 L équation de rendement du portefeuille s organise de la façon dp Z2 S + V + V 2 2 q2 dt n Z2 S V + V 1 + V q n 1 n ds + n les termes ds et dz contiennent des mouvements browniens, ce qui suppose l existence du risque. Pour éliminer toute source de risque de ce portefeuille, il est judicieux de dé nir n et n 1 de façon que On n n = @V 1 n 1 = 0 n 1 = V ega V V ega V1 et n = V V ega C V ega C1 V1 (4.8) Il ne reste donc que des termes en dp Z2 S + V + V 2 q2 dt n Z2 S V + V 1 + V 1 2 q2 2 Le portefeuille n ayant plus de composantes risquées, en l absence d opportunité d arbitrage, nous pouvons dire qu il rapporte le taux sans risque. Nous obtenons nalement l équation suivante Z2 S + V + V 2 n Z2 S V + V 1 + V = rp dt = r (V ns n 1 V 1 ) dt dt (4.10) dt Nous avons ici une EDP qui est une fonction de deux variables alors que dans le modèle de Black&Scholes, cette EDP n est fonction que d une seule variable. En isolant les termes en V dans le membre de gauche et les termes en V 1 dans le membre de droite, nous pouvons

63 4.1 Modélisation d une option à volatilité stochastique 54 réecrire l Z2 S Z2 S V 1 D une manière plus générale on obtient V V 2 rv rv 1 (4.11) EDP V V ega V = EDP V 1 V ega V1 Dans le modèle Black et Scholes, on pose = :::: = EDP V n V ega Vn = constante = r (4.12) S = r (4.13) Tandis que dans le modèle à volatilité stochastique = p q r, r = p q (4.14) Nous pouvons donc obtenir l égalité + 2 Z2 S V + V @Z rv = (p q) (4.15) Et en déduire l EDP qui est le point de départ de tous les modèles à Z2 S + V + 2 q2 + (p rv = 0 (4.16) où est appelé le prix de marché du risque de volatilité et il est supposé être constant. C est donc, l équation di érentielle où V (S; Z; t) est une option d achat sur un sous-jacent dont le rendement instantané est à volatilité stochastique. Il s agit d une équation linéaire, qui est un cas particulier de l équation générale developée par Garman[12] et Cox[?], Ross et Ingersoll (1985). Il s agit d une équation de type elliptique dans le plan (S; Z) puisque le discréminant m(s; Z) = (qzs) q2 ( 1 2 Z2 S 2 ) = (qzs) 2 ( 2 1) < 0 Cette équation peut-être formulée de la façon suivante Z2 S rv ) + ( (p ) = 0

64 4.1 Modélisation d une option à volatilité stochastique 55 Soit, en mettant en facteur l opérateur dérivé, par rapport à la volatilité dans la deuxième parenthèse, on Z2 S rv q2 + (p q )V ) = 0 On constate que, lorsque la volatilité est constante, la seconde parenthèse prend une valeur nulle et on retrouve l équation de Black-Scholes. On pose Z = p, + V 2 + p V + 2 q2 + (p rv = 0 Pour éliminer, le terme de la dérivée mixte et mettre l équation sous sa forme canonique, deux cas se présentent soit prendre le coe cient de corrélation nul ( = 0), ce qui ne re ète pas la realité ou bien faire un changement de variable adéquat Conditions aux limites Soit, l équation aux dérivées partielles, qui modélisent la valeur d un + V 2 + p V + 2 q2 + (p rv = 0 On considère la formule de Black-Scholes, dans le cas d un call, soit : V = SN(d 1 ) Ke rt N(d 2 ) avec d 1 = Ln( S K ) + rt p t p t et d 2 = Ln( S K ) + rt p t 1 2 p t Les conditions aux limites sont au nombre de six, puisque l équation considérée comporte six dérivées partielles. Soient deux conditions, par rapport au sous-jacent, trois par rapport à la volatilité et une condition par rapport au temps. C1 : V (0; ; t) = 0 Le pay-o est nul quand le prix du sous-jacent est C2 : = (;S= 1;t)

65 4.2 Nouvelle Equation Di érentielle 56 Quelle que soit la valeur de la volatilité ;quand la valeur du sous-jacent est in nie, la valeur de l option se confond avec sa valeur intrinsèque (la valeur temps est nulle car on est sûr de l exercice de l option). La dérivée du prix de l option par rapport au prix du sous-jacent n est autre que le coe cient directeur de l asymptote à cette courbe est égal à 1. Cette condition est analogue à V (+1; ; t) = S: C3 : V (S; 0; t) = Max(0; S Ke r(t t) ) Selon le modèle Black-Scholes, qui est un cas particulier du modèle à volatilité stochastique où la volatilité est constante et égale à 0, ce résultat peut être illustré par le tableau suivant = 0 d 1 d 2 N(d 1 ) N(d 2 ) V S < Ke rt S Ke rt S Ke rt C4 : V (S; +1; t) = S Selon le modèle Black-Scholes, qui est un cas particulier du modèle à volatilité stochastique où la volatilité est constante et égale à +1, ce résultat peut être illustré par le tableau suivant = +1 d 1 d 2 N(d 1 ) N(d 2 ) V 8S S C5 : V (S; ; T ) = Max(0; S K) Il s agit d une option de type européen, sa valeur K à l échéance T ( le pay-o ) est égale à sa valeur C6 : = (S;=0;t) Selon le modèle Black-Scholes, qui est un cas particulier du modèle à volatilité stochastique où la volatilité est constante et égale à 0, ce résultat est illustré par le tableau suivant = 0 d 2 1 N 0 (d 1 ) V = Sp tn 0 =0 1 ) 8S Avec ces conditions aux limites et dans l hypothèse de la complétude du marché nancier l équation admet une solution unique. 4.2 Nouvelle Equation Di érentielle Les coe cients des termes de dérivées d ordre 2 de l équation di érentielle considérée sont : a = S 2 ; b = 1 2 qp S et c = 1 2 q2

66 4.2 Nouvelle Equation Di érentielle 57 On fait un changement de variables tel que : X = X(S; ; t) et Y = Y (S; ; t), les nouveaux coe cients A, B et C des termes des dérivées d ordre 2, par rapportà X et Y sont tel que : c@2 2 = avec A )2 + )2 B ) C )2 ) @ + )2 ) Le type de l équation est conservé par le changement de variables. On a aussi B 2 4AC = J 2 (b 2 ac) où le J est le jacobien correspondant à ce changement de variables. Ce jacobien est donné par le déterminant suivant : Par ce changements de variables, on souhaite annuler le terme de dérivées croisées, soit B Sur une iso-x, X prend une valeur constante, on a : X = X(S; ) =constante implique d = 0 d ds = De même sur une iso-y, Y est constante, on d = 0 d ds = En divisant l équation de B @S

67 4.2 Nouvelle Equation Di érentielle 58 En simpli ant par les dérivées suivant X et Y, on a : B = a d ds 2 2b( d ds ) + c = 0 Cette équation caractéristique n est qu une équation du second degré où l inconnue est la dérivée de la volatilité par rapport à la valeur du sous-jacent le long des iso-x et des iso-y. Dans le plan (S; ), l équation est de type elliptique (b 2 solutions complexes : avec i le nombre complexe tel que p i = 1 d ds = b r ac b a i 2 a 2 ac < 0), cette équation admet deux En remplaçant a; b et c par leurs valeurs, par leurs expressions, en fonction des variables ; q; S et dans la précédente équation, on a : d ds = q p S ( i p 1 2 ) En séparant les deux variables, on a : p q d = ds S ( ip 1 2 ) En intégrant, on obtient : (LnS Z p q d) ip 1 2 LnS = constante On choisit le changement de variables, tel que X = LnS Y = p 1 Z p q d 2 LnS = S ; = 2 S Avec ce changement de varibles, on = A = C = 2 (1 2 ) ; = 0

68 4.2 Nouvelle Equation Di érentielle 59 En n, on a B = 0 et @X @S @ = p 1 2 En remplaçant dans l équation di érentielle originelle, on obtient l équation (1 V 2 + r (p 2 q) + rp 2 rv @t + 2 (1 2 )V + r (p q) + rp 2 rv = Avec = (X; Y ). Si on considére que la volatilité de la volatilité est de la forme q = 1 2, la variable X s écrira : X = LnS Quatre cas peuvent se présenter : Cas : = 3 2 Cas : = 5 2 cas : 6= 3 2 ; 6= 5 2 Cas = 1 2 p Z p Z q d = LnS 1 d Le quatrième cas est un cas particulier du cas 3, où la volatilité de la volatilité est constante, ce qui correspond dans notre travail au mouvement Brownien ou au processus d Orntein Uhlenbeck arithmétique, comme processus de la volatilité. Les expressions de S et Y, sont les mêmes quelque soit le cas de gure : Y S = S(X; Y ) = exp( p ) 1 2 Y = Y (S; ) = p 1 2 LnS Les expressions de et de X varient suivant la relation entre la volatilité de la volatilité et la volatilité. Le tableau suivant donne, les expressions de X(S; ) et de (X; Y ).

69 4.3 Résolution de L EDP par la méthode des di érences nies 60 q X = X(S; ) = (X; Y ) Cas 1 q = X = LnS p = X 2 Cas 2 q = 2 X = LnS p = ( 2 ) 2 3 X 3 q = Cas = 3 et 6= 5 1 X = LnS 1 = (1 ) (1 ) 2 2 Cas 4 q = X = LnS 2 p = 2 4 p 1 2 Y 2 2 p Y p Y X p 1 2 Y X Nouvelles conditions aux limites et nouveau domaine Les conditions aux limites s obtiennent, en remplaçant S et par leurs expressions, en fonction de X et de Y. Les transformations de ces conditions aux limites sont récapitulées dans le tableau, le cas q = 1 2 avec 6= 1 et 6= Conditions Dans le plan (S; ) Dans le plan (X; Y ) C1 V (0; ; t) = 0 V (X = 1; Y = 1) = C2 = + p (;S= = p C3 V (S; 0; t) = Max(0; S Ke r(t t) V X; X; t = Max(0; e X Ke p C4 V (S; +1; t) = S V (X = 1; Y; t) = e Y 1 2 p C5 V (S; ; T ) = Max(0; S E) V (X; Y; T ) = Max(0; e C6 = p = 1 2 X; 1 2 X;t 1 2 K) Le terme de dérivée croisée n existe plus, même dans le cas où le coe cient de corrélation est non nul. Cependant la forme du domaine de V (X; Y ) rend cette tâche di cile. En e et, en faisant le changement de variables de (S; ) vers (X; Y ), la forme du domaine se transforme. r(t t) 4.3 Résolution de L EDP par la méthode des di érences nies L équation aux dérivées partielles, avec ses conditions aux limites, le marché est supposé complet et en équilibre admet une solution analytique unique, que l on ne peut trouver explicitement, ce qui nous oriente vers la résolution numérique. La méthode des di érences nies est recommandé, comparativement à la méthode de Monte Carlo, vu qu il y a deux variables d états. La dé nition la plus simple d un marché complet, est que c est un marché où chaque produit

70 4.3 Résolution de L EDP par la méthode des di érences nies 61 dérivé peut-être repliqué par une stratégie auto nanée, avec une position sur le sous-jacent et une position sur une obligation[?] Schéma numérique On considère le cas où la volatilité de la volatilité est constante q = avec Y S = S(X; Y ) = exp( p ) 1 2 = 2 2 (1 V 2 V + 2! 2 p Y X 1 2 r (p q) soit D = 2 2 (1 V 2 V + r 2 + rp 1 D + rp @Y rv = 0 rv = 0 les variables sont X, Y et la durée de vie de l option T suivante t, sont discrétisées de la façon X = is 0 i I Y = jy 0 j J T t = kt 0 k L où X; Y; t; sont les pas respectifs des variables. La valeur de l option européenne se fait dans le sens anti-cronologique, à partir de la date d échéance T. Le domaine du prix du sous-jacent et de sa volatilité, est in ni dans la théorie, mais numériquement on prend un rectangle, son centre correspond au prix du sous-jacent et de sa volatilité, à l instant t, pour lequel on cherche à évaluer l option. Si le prix du sous-jacent et de sa volatilité sont négatifs, la valeur de l option est nulle. La valeur de l option V (X; Y; t) est approchée par discrétisation par V k+1 i;j kt) = V (ix; jy; T

71 4.3 Résolution de L EDP par la méthode des di érences nies 62 Les dérivées s écrivent de la façon suivante : V k V i+1;j k V i;j+1 V i;j k V k+1 t V k i;j 2 V i+1;j k 2 V i;j+1 k 2 2Vi;j k + Vi k 1;j X 2 2Vi;j k + Vi;j k 1 Y 2 En renplaçant chaque expression dans l équation, on trouve V k+1 i;j = a k i;jv k i;j + b k i;jv k i+1;j + c k i;jv k i;j+1 + d k i;jv k i;j 1 + e k i;jv k i 1;j avec 1 a k i;j = 1 r + 2 i;j (1 2 ) (x) + 1 t 2 (y) p 2 b k i;j = i;j (1 2 1 i;j 1 ) + (r D) t (x) 2 q 2x c k i;j = i;j (1 2 1 ) (Y ) + rp t 2 2Y d k i;j = i;j (1 2 1 ) r p 1 1 (Y ) 2 t 2 2Y p e k i;j = i;j (1 2 1 i;j 1 ) + (r D) ( (x) 2 q 2x ) t S i;j (X i ; Y j ) = S(X i ; Y j ) = exp( p ) 1 2 Y j i;j (Xi; Y j ) = 2 4! 2 p Y j X i Conditions aux limites du schéma numérique On considére que, lorsque l indice k est incrémenté de 1, chacun des indices i et j est décrémenté de 1 avec I = J = L.

72 4.3 Résolution de L EDP par la méthode des di érences nies 63 Les conditions aux limites s obtiennent : C1 : V k 0;j = 0; 8j; 8k C2 : V k I;j = S k I;j; 8j; 8k C3 : V 0 i;j = Max(0; S 0 i;j K); 8i; 8j C4 : V k i;0 = Max(0; S k i;0 Ke krt ); 8i; 8k C5 : V k i;j = S k i;j; 8i; 8k C6 : V k i;i = V k i;0; 8i; 8k Résultats numériques et commentaires Selon les expérimentations numériques (Figures ), Il est clair que le prix du sousjacent se comporte exponentiellement par rapport à la variable Y comme indiqué dans la Figure 4.1. Nous remarquons aussi que nous n avons aucun comportement d instabilité numérique tant que nous respectons la CFL (la condition de stabilité) qui est déduite de l analyse de la stabilité du schéma de la méthode des di érerence nis considéré. La gure 4.3 montre que, plus on se raproche de l échéance T de l option, plus on a des perturbations dans le marché des options.

73 4.3 Résolution de L EDP par la méthode des di érences nies 64 Figure 4.1 : Prix du Sous-jacent S Figure 4.2 : la Volatilité